Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x+sinx（e為自然對數(shù)的底數(shù)），g（x）=ax，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）．
（1）若x=0是F（x）的極值點(diǎn)，且直線x=t（t≥0）分別與函數(shù)f（x）和g（x）的圖象交于P，Q，求P，Q兩點(diǎn)間的最短距離；
（2）若x≥0時(shí)，函數(shù)y=F（x）的圖象恒在y=F（-x）的圖象上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知f（t）=g（t），令h（x）=e^x+sinx-x（x≥0），求出其導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求得h（x）的最小值即為P、Q兩點(diǎn)間的最短距離．
（2）令ϕ（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax，函數(shù)y=F（x）的圖象恒在y=F（-x）的圖象上方，等價(jià)于ϕ（x）≥0恒成立，求出其導(dǎo)函數(shù)，可求出φ（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）因?yàn)镕（x）=e^x+sinx-ax，所以F'（x）=e^x+cosx-a，
因?yàn)閤=0是F（x）的極值點(diǎn)，所以F'（0）=1+1-a=0，a=2．
又當(dāng)a=2時(shí)，若x＜0，F(xiàn)'（x）=e^x+cosx-a＜1+1-2=0，
所以F'（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，所以F'（x）＞F'（0）=1+1-2=0，所以x=0是F（x）的極小值點(diǎn)，
所以a=2符合題意，所以|PQ|=e^t+sint-2t．令h（x）=e^x+sinx-2x，即h'（x）=e^x+cosx-2，
因?yàn)閔''（x）=e^x-sinx，當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞1，-1≤sinx≤1，
所以h''（x）=e^x-sinx＞0，所以h'（x）=e^x+cosx-2在（0，+∞）上遞增，
所以h'（x）=e^x+cosx-2＞h'（0）=0，∴x∈[0，+∞）時(shí)，h（x）的最小值為h（0）=1，所以|PQ|_min=1．
（2）令ϕ（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax，
則ϕ'（x）=e^x-e^-x+2cosx-2a，S（x）=ϕ''（x）=e^x-e^-x-2sinx，
因?yàn)镾'（x）=e^x+e^-x-2cosx≥0當(dāng)x≥0時(shí)恒成立，所以函數(shù)S（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，∴S（x）≥S（0）=0當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)恒成立；
故函數(shù)ϕ'（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以ϕ'（x）≥ϕ'（0）=4-2a在x∈[0，+∞）時(shí)恒成立．
當(dāng)a≤2時(shí)，ϕ'（x）≥0，ϕ（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，即ϕ（x）≥ϕ（0）=0．
故a≤2時(shí)F（x）≥F（-x）恒成立．
當(dāng)a＞2時(shí)，因?yàn)?#981;'（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，
所以總存在x₀∈（0，+∞），使ϕ（x）在區(qū)間[0，x₀）上ϕ'（x）＜0，即ϕ（x）在區(qū)間[0，x₀）上單調(diào)遞減，而ϕ（0）=0，
所以當(dāng)x∈[0，x₀）時(shí)，ϕ（x）＜0，這與F（x）-F（-x）≥0對x∈[0，+∞）恒成立矛盾，
所以a＞2不符合題意，故符合條件的a的取值范圍是（-∞，2]．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．