Question

【題目】已知函數(shù)，的在數(shù)集上都有定義，對于任意的，當時，或成立，則稱是數(shù)集上的限制函數(shù).

（1）求在上的限制函數(shù)的解析式；

（2）證明：如果在區(qū)間上恒為正值，則在上是增函數(shù)；[注：如果在區(qū)間上恒為負值，則在區(qū)間上是減函數(shù)，此結(jié)論無需證明，可以直接應用]

（3）利用（2）的結(jié)論，求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）由題目給出的條件，構(gòu)造，根據(jù)條件驗證可得所求函數(shù)；
（2）運用反證法，即可得證；
（3）求得，根據(jù)第二問結(jié)論由大于0，可得增區(qū)間；小于0，可得減區(qū)間．

解：（1）任意的，；

由于任意性：；

故構(gòu)造；

由冪函數(shù)性質(zhì)得在單調(diào)遞減，

且易得：，滿足題意，

故：；

（2）運用反證法，即假設在上不是增函數(shù)，
若在上是減函數(shù)，可得在區(qū)間上恒為負值；
若在上是常數(shù)函數(shù)，可得在區(qū)間上恒為零；

若在上是有增有減，可得在區(qū)間上可能為正可能為負；
這與在區(qū)間上恒為正值矛盾，故在上是增函數(shù)；

（3）任意的，當，

，

構(gòu)造；

任取，，

，

，

故：，

是數(shù)集上的限制函數(shù)，

，解得

利用（2）結(jié)論，當函數(shù)單調(diào)遞增，

，解得

利用（2）結(jié)論，當函數(shù)單調(diào)遞減.