Question

14．已知某廠每天的固定成本是20000元，每天最大規(guī)模的產(chǎn)品量是360件．每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，成本增加100元，生產(chǎn)x件產(chǎn)品的收入函數(shù)是R（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$+400x，記L（x），P（x）分別為每天的生產(chǎn)x件產(chǎn)品的利潤和平均利潤（平均利潤=$\frac{總利潤}{總產(chǎn)量}$）
（1）每天生產(chǎn)量x為多少時(shí)，利潤L（x）有最大值，并求出最大值；
（2）每天生產(chǎn)量x為多少時(shí)，平均利潤P（x）有最大值，并求出最大值；
（3）由于經(jīng)濟(jì)危機(jī)，該廠進(jìn)行了裁員導(dǎo)致該廠每天生產(chǎn)的最大規(guī)模的產(chǎn)品量降為160件，那么每天生產(chǎn)量x為多少時(shí)，平均利潤P（x）有最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）利用利潤L（x）等于收益減去成本列出函數(shù)的關(guān)系式．利用二次函數(shù)求出最大值；
（2）利用平均利潤=$\frac{總利潤}{總產(chǎn)量}$，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值．
（3）利用（2）通過函數(shù)的單調(diào)性直接求解結(jié)果即可．

解答 解：（1）依題意得利潤L（x）=-$\frac{1}{2}{x}^{2}+300x-20000$，x∈（0，360]
即：L（x）=$-\frac{1}{2}（{x-300）}^{2}+25000$
∵x∈（0，360]，∴當(dāng)x=300時(shí)，L（x）有最大值為25000．
（2）依題意得$P（x）=\frac{{-\frac{1}{2}{x^2}+300x-20000}}{x}=-\frac{1}{2}（x+\frac{40000}{x}）+300，x∈（0，360]$
令$u（x）=x+\frac{40000}{x}$，設(shè)$0＜{x_1}＜{x_2}≤360，u（{x_1}）-u（{x_2}）=\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}{x_2}-40000）}}{{{x_1}{x_2}}}$．
可知，當(dāng)0＜x₁＜x₂≤200，u（x₁）-u（x₂）＞0，即u（x）在（0，200]時(shí)單調(diào)遞減
當(dāng)200＜x₁＜x₂≤360，u（x₁）-u（x₂）＜0，即u（x）在[200，360]時(shí)單調(diào)遞增．
所以P（x）在（0，200]時(shí)單調(diào)遞增，在[200，360]時(shí)單調(diào)遞減．
所以當(dāng)x=200時(shí)，P（x）有最大值為100元；
（3）由（2）得P（x）在x∈（0，160]時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)x=160時(shí)，P（x）有最大值為95元
答：（1）當(dāng)產(chǎn)量為300件時(shí)，L（x）有最大值25000元；（2）當(dāng)產(chǎn)P（x）量為200時(shí)，P（x）有最大值為100元，若該最大產(chǎn)量為160件時(shí)，則當(dāng)產(chǎn)量為160時(shí)，P（x）有最大值為95元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)際問題的解決方法，二次函數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．