Question

16．如圖，點(diǎn)A與點(diǎn)A′在x軸上，且關(guān)于y軸對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)A′垂直于x軸的直線與拋物線y²=2x交于兩點(diǎn)B，C，點(diǎn)D為線段AB 上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AC上，滿足$\frac{{|{CE}|}}{{|{CA}|}}=\frac{{|{AD}|}}{{|{AB}|}}$．
（1）求證：直線DE與此拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（2）設(shè)直線DE與此拋物線的公共點(diǎn)F，記△BCF與△ADE的面積分別為S₁、S₂，求$\frac{S_1}{S_2}$的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A及B，C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相似關(guān)系，設(shè)$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{CA}$，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得D及E點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線DE的方程，將直線方程代入拋物線方程，有且僅有一個(gè)解，則直線DE與此拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（2）根據(jù)三角形的面積公式，求得S₁，令y=0，求得G點(diǎn)坐標(biāo)及丨AG丨，則S₂=S_△ADG+S_△AEG=$\frac{1}{2}$×丨AG丨×丨y_D-y_E丨=2a³（4λ-4λ²），即可求得$\frac{S_1}{S_2}$的值．

解答 解：（1）證明：設(shè)A（-2a²，0），A′（2a²，0），則B（2a²，2a），C（2a²，-2a），
設(shè)D（x₁，y₁），$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{CA}$，
∴（x₁+2a²，y₁）=λ（4a²，2a），故D的坐標(biāo)（（4λ-2）a²，2λa），
設(shè)E（x₂，y₂），由$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{CA}$，則（x₂-2a²，y₂+2a）=λ（-4a²，2a），
∴E（（2-4λ）a²，（2λ-2）a），
∴直線DE的斜率為k_DE=$\frac{2a}{（8λ-4）{a}^{2}}$=$\frac{1}{（4λ-2）a}$，
直線DE的方程：y-2λa=$\frac{1}{（4λ-2）a}$[x-（2-4λ）a²]，
整理得：（4λ-2）ay-2λa（4λ-2）a=x-（2-4λ）a²，即x=2a（2λ-1）y-2a²（2λ-1）²，①
代入拋物線方程，y²=2[2a（2λ-1）y-2a²（2λ-1）²]，
整理得：y²-4a（2λ-1）y+4a²（2λ-1）²=0，②
此時(shí)方程②的兩個(gè)根相等，y=2a（2λ-1），
代入①，整理得x=2a²（2λ-1）²，
∴直線DE與此拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)F（2a²（2λ-1）²，2a（2λ-1））；
（2）由S₁=$\frac{1}{2}$×丨BC丨×h=$\frac{1}{2}$×4a×（2a²-x_F）=4a³（4λ-4λ²），
設(shè)直線DE與x軸交于點(diǎn)G，令y=0，代入方程①，x=2a（2λ-1）y-2a²（2λ-1）²，解得：x=2a²（2λ-1）²，
故丨AG丨=2a²-2a²（2λ-1）²=2a²（4λ-4λ²），
S₂=S_△ADG+S_△AEG=$\frac{1}{2}$×丨AG丨×丨y_D-y_E丨=a²（4λ-4λ²）丨2λa-（2λ-2）a丨=2a³（4λ-4λ²），
∴$\frac{S_1}{S_2}$=2，
∴$\frac{S_1}{S_2}$的值2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，直線的斜率公式及點(diǎn)斜式方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．