Question

5．等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₇＜S₉＜S₈，給出下列命題：
①數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列；②|a₈|＞|a₉|；③S_n最大值為S₈；④滿足S_n＞0的n最大值為16．
其中正確的命題個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由已知的不等式S₈＞S₉＞S₇，以及S₉=S₈+a₉，S₈=S₇+a₈，S₉=S₇+a₈+a₉，利用不等式的性質(zhì)得出a₈，a₉及a₈+a₉的符號(hào)，進(jìn)而再利用等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得到正確選項(xiàng)的序號(hào)．

解答 解：等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₇＜S₉＜S₈，
∵S₈＞S₉，且S₉=S₈+a₉，
∴S₈＞S₈+a₉，即a₉＜0，
又S₈＞S₇，S₈=S₇+a₈，
∴S₇+a₈＞S₇，即a₈＞0，
∴d=a₉-a₈＜0，即數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列，
故選項(xiàng)①對(duì)；
又S₉＞S₇，S₉=S₇+a₈+a₉，
∴S₇+a₈+a₉＞S₇，即a₈+a₉＞0，
即有a₈＞-a₉，
即|a₈|＞|a₉|，故選項(xiàng)②對(duì)；
由d＜0，a₈＞0，a₉＜0，…，a₁＞0，
S_n最大值為S₈，故選項(xiàng)③對(duì)；
又a₁+a₁₅=2a₈，
∴S₁₅=$\frac{15（{a}_{1}+{a}_{15}）}{2}$=15a₈＞0，
又a₁+a₁₆=a₈+a₉，
∴S₁₆=$\frac{16（{a}_{1}+{a}_{16}）}{2}$=8（a₈+a₉）＞0，
又a₁+a₁₇=2a₉，
∴S₁₇=$\frac{17（{a}_{1}+{a}_{17}）}{2}$=17a₉＜0，
滿足S_n＞0的n最大值為16．故選項(xiàng)④對(duì)．
其中正確的命題個(gè)數(shù)是4．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，熟練運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．