Question

設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對任意，都有，其中 為數(shù)列的前項(xiàng)和。
(1)求證數(shù)列是等差數(shù)列；
(2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為T_n,求T_n。

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）

試題分析：（1）利用（）和已知等式可得，由于，.然后再求n=1時(shí)，a₁的值即可求證；
（2）利用（1）的結(jié)論，首先求出，然后在求出，這樣就可得到=，最后在利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
試題解析：解：（1）∵，當(dāng)時(shí)，，
兩式相減，得，即
，又，∴.      4分
當(dāng)時(shí),,∴,又,∴.
所以,數(shù)列是以3為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.               6分
（2）由（1） ,∴.
設(shè),； ∵ ， ∴
∴                      10分
=
=                                            12分