Question

13．已知函數(shù)f（x）=（2sin2x+$\sqrt{3}$）cosx-sin3x．
（1）求f（x）的最值；
（2）若f（x）=$\sqrt{3}$，x∈（0，π），求x．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的最值，求得f（x）的最值．
（2）由題意求得sin（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），由此求得x的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（2sin2x+$\sqrt{3}$）cosx-sin3x=2sin2xcosx+$\sqrt{3}$cosx-（sin2xcosx+cos2xsinx）
=sin2xcosx-cos2xsinx+$\sqrt{3}$cosx=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
故函數(shù)f（x）的最大值為2，最小值為-2．
（2）若f（x）=$\sqrt{3}$，x∈（0，π），則sin（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∵x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），
∴x+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，∴x=$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的最值，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．