Question

給出下列命題：
①若函數(shù)f（x）=asinx+cosx的一個(gè)對(duì)稱中心是（

π

6

，0），則a的值為-

3

；
②函數(shù)f（x）=cos（2x+

π

2

）在區(qū)間[0，

π

2

]上單調(diào)遞減；
③已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ）（-π＜φ＜π），若f（

π

6

）≤f（x）對(duì)任意x∈R恒成立，則φ=-

5π

6

；
④函數(shù)f（x）=tan|x|既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)；
⑤函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

3

）+1的最小正周期為π．
其中所有正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),簡(jiǎn)易邏輯

分析：①該函數(shù)的對(duì)稱中心應(yīng)在圖象上，故只需將對(duì)稱中心坐標(biāo)代入解析式求出a的值即可；
②原函數(shù)化為y=-sin2x，求出該函數(shù)的單減區(qū)間進(jìn)行判斷；
③由題意，說(shuō)明x=

π

6

時(shí)，函數(shù)取最小值，據(jù)此求出φ的值；
④y軸前后的圖象在后面不再重復(fù)出現(xiàn)，說(shuō)明該函數(shù)不滿足周期性；
⑤利用公式T=

2π

|ω|

計(jì)算后判斷．

解答： 解：對(duì)于①，將（

π

6

，0）代入f（x）=asinx+cosx得

a

2

+

3

2

=0，得a=-

3

．故①是真命題；
對(duì)于②，利用誘導(dǎo)公式得f（x）=cos（2x+

π

2

）=-sin2x，由-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，k∈Z得減區(qū)間為-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ，k∈Z，當(dāng)k=0時(shí)，減區(qū)間為[-

π

4

，

π

4

]，增區(qū)間為[

π

4

，

3π

4

]，故②為假命題；
對(duì)于③，若f（

π

6

）≤f（x）對(duì)任意x∈R恒成立，則x=

π

6

時(shí)有最小值，故2×

π

6

+φ=-

π

2

+2kπ，k∈Z，k=0時(shí)，φ=-

5π

6

，故③是真命題；
對(duì)于④，滿足偶函數(shù)，但不滿足周期函數(shù)，如圖所示：

故④假命題；
對(duì)于⑤，由T=

2π

|ω|

=

2π

2

=π，故⑤是真命題．
故答案為：①③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題充分考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，要注重聯(lián)系圖象來(lái)解決問題．