Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3…），數列{b_n}中，b₁=1，點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（1）求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）求數列{a_n}，{b_n}的通項a_n和b_n；
（3）設c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的通項公式,等比數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得a₁=S₁=2a₁-2，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，由此能證明數列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數列．
（2）由（1）知a_n=2ⁿ，由點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，得b_n-b_n+1+2=0，由此能求出b_n=2n-1．
（3）由c_n=（2n-1）•2ⁿ，利用錯位相減法能求出數列{c_n}的前n項和．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-2，
∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
又當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴數列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數列．
（2）由（1）知數列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數列，
∴a_n=2ⁿ，
∵點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0，
∴b_n+1-b_n=2，
∴數列{b_n}是等差數列，
又b₁=1，∴b_n=2n-1．
（3）∵c_n=（2n-1）•2ⁿ，
∴T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ，①
2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：
-T_n=1×2+（2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+

8(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的通項公式和前n項和公式的合理運用，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．