Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{x^2}{2}$-alnx（a≠0）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性和極值；
（2）證明：當(dāng)a＞0時，若f（x）存在零點，則f（x）在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$]上僅有一個零點．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）通過討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的零點個數(shù)，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），${f^'}（x）=x-\frac{a}{x}=\frac{{{x^2}-a}}{x}$，
①當(dāng)a＜0，x＞0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無極值，
②當(dāng)a＞0，由f′（x）=0，解得$x=\sqrt{a}$，f（x）與f′（x）在區(qū)間（0，+∞）上的情況如下：

x	（0，$\sqrt{a}$）	$\sqrt{a}$	（$\sqrt{a}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減	$\frac{a（1-lna）}{2}$	遞增

所以，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是$（0，\sqrt{a}）$，單調(diào)遞增區(qū)間是$（\sqrt{a}，+∞）$；
所以f（x）在$x=\sqrt{a}$處取得極小值$f（\sqrt{a}）=\frac{a（1-lna）}{2}$．
（2）由（1）知，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值為$f（\sqrt{a}）=\frac{a（1-lna）}{2}$，
因為f（x）存在零點，所以$\frac{a（1-lna）}{2}≤0$，從而a≥e，
當(dāng)a=e時，f（x）在區(qū)間$（1，\sqrt{e}）$上單調(diào)遞減，且$f（\sqrt{e}）=0$，
所以$x=\sqrt{e}$是f（x）在區(qū)間$（1，\sqrt{e}]$上的唯一零點，
當(dāng)a＞e時，f（x）在區(qū)間$（0，\sqrt{a}）$上單調(diào)遞減，且$f（1）=\frac{1}{2}＞0$，$f（\sqrt{e}）=\frac{e-a}{2}＜0$，
所以f（x）在區(qū)間$（1，\sqrt{e}]$上僅有一個零點，
綜上可知，當(dāng)a＞0時，若f（x）存在零點，則f（x）在區(qū)間$（1，\sqrt{e}]$上僅有一個零點．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．