Question

18．如圖，四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AB=2DC=2$\sqrt{3}$，AC∩BD=F．且△PAD與△ABD均為正三角形，E為AD的中點(diǎn)，G為△PAD重心．
（Ⅰ）求證：GF∥平面PDC；
（Ⅱ）求三棱錐G-PCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：連AG交PD于H，連接CH．由重心性質(zhì)推導(dǎo)出GF∥HC，由此能證明GF∥平面PDC．
法二：過G作GN∥AD，交PD于N，過F作FM∥AD，交CD于M，連接MN，推導(dǎo)出GNMF為平行四邊形，從而GF∥MN，由此能證明GF∥面PDC．
法三：過G作GK∥PD交AD于K，連接KF，GF，推導(dǎo)出平面GKF∥平面PDC，由此能證明GF∥面PDC．
（Ⅱ） 法一：由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD與△ABD均為正三角形，E為AD的中點(diǎn)，由${V_{G-PCD}}={V_{F-PCD}}={V_{P-CDF}}=\frac{1}{3}×PE×{S_{△CDF}}$，能求出三棱錐G-PCD的體積．
法二：由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD與△ABD均為正三角形，E為AD的中點(diǎn)，由${V_{G-PCD}}=\frac{2}{3}{V_{E-PCD}}={V_{P-CDE}}=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×PE×{S_{△CDE}}$，能求出三棱錐G-PCD的體積．

解答 證明：（Ⅰ）證法一：連AG交PD于H，連接CH．
由梯形ABCD，AB∥CD，且AB=2DC，知$\frac{AF}{FC}=\frac{2}{1}$
又E為AD的中點(diǎn)，且PG：GE=2：1，G為△PAD的重心，∴$\frac{AG}{GH}=\frac{2}{1}$-------（2分）
在△AFC中，$\frac{AG}{GH}=\frac{AF}{FC}=\frac{2}{1}$，故GF∥HC．-------（4分）
又HC⊆平面PCD，GF?平面PCD，∴GF∥平面PDC．-------（6分）
證法二：過G作GN∥AD，交PD于N，過F作FM∥AD，交CD于M，連接MN，
∵E為AD的中點(diǎn)，且PG：GE=2：1，
G為△PAD的重心，$\frac{GN}{ED}=\frac{PG}{PE}$=$\frac{2}{3}$，∴GN=$\frac{2}{3}ED=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
又ABCD為梯形，AB∥CD，∵$\frac{CD}{AB}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{CF}{AF}=\frac{1}{2}$，-------（2分）
∴$\frac{MF}{AD}=\frac{1}{3}$，∴MF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴GN=FM，-------（4分）
又由所作GN∥AD，F(xiàn)M∥AD，得GN∥FM，∴GNMF為平行四邊形．
∴GF∥MN，∵GF?面PCD，MN?面PCD，
∴GF∥面PDC．-------（6分）
證法三：過G作GK∥PD交AD于K，連接KF，GF，
由△PAD為正三角形，E為AD的中點(diǎn)，且PG：GE=2：1，G為△PAD的重心，
得$DK=\frac{2}{3}DE$，∴$DK=\frac{1}{3}AD$-------（2分）
又由梯形ABCD，AB∥CD，且AD=2DC，知$\frac{AF}{FC}=\frac{2}{1}$，即$FC=\frac{1}{3}AC$-------（4分）
∴在△ADC中，KF∥CD，所以平面GKF∥平面PDC
又GF⊆平面GKF，∴GF∥面PDC-------（6分）
解：（Ⅱ） 解法一：由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD與△ABD均為正三角形，E為AD的中點(diǎn)
∴PE⊥AD，BE⊥AD，得PE⊥平面ABCD，且PE=3
由（Ⅰ）知GF∥平面PDC，∴${V_{G-PCD}}={V_{F-PCD}}={V_{P-CDF}}=\frac{1}{3}×PE×{S_{△CDF}}$-------（8分）
又由梯形ABCD，AB∥CD，且AD=2DC=2$\sqrt{3}$，知$DF=\frac{1}{3}BD=\frac{2}{3}\sqrt{3}$
又△ABD為正三角形，得∠CDF=ABD=60°，∴${S_{△CDF}}=\frac{1}{2}×CD×DF×sin∠BDC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，--（10分）
得${V_{P-CDF}}=\frac{1}{3}×PE×{S_{△CDF}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
∴三棱錐G-PCD的體積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．-------（12分）
解法二：由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD與△ABD均為正三角形，E為AD的中點(diǎn)
∴PE⊥AD，BE⊥AD，得PE⊥平面ABCD，且PE=3
由$PG=\frac{2}{3}PE$，∴${V_{G-PCD}}=\frac{2}{3}{V_{E-PCD}}={V_{P-CDE}}=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×PE×{S_{△CDE}}$-------（8分）
而又△ABD為正三角形，得∠EDC=120°，得${S_{△CDE}}=\frac{1}{2}×CD×DE×sin∠EDC=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．-----（10分）
∴${V_{P-CDF}}=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×PE×{S_{△CDF}}=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×3×\frac{{3\sqrt{3}}}{4}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴三棱錐G-PCD的體積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．----（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．