Question

13．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓M：（x+1）²+y²=16，定點(diǎn)F（1，0），點(diǎn)N是圓M上一動(dòng)點(diǎn)，線段NF的垂直平分線交圓M的半徑MN于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q的軌跡為E．
（1）求曲線E的方程；
（2）已知點(diǎn)P是曲線E上但不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，曲線E與y軸的交點(diǎn)分別為B₁、B₂，直線B₁P和B₂P分別與x軸相交于C、D兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)線段長(zhǎng)之積|OC|•|OD|是否為定值？如果是請(qǐng)求出定值，如果不是請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)C坐標(biāo)為（-1，0），過(guò)點(diǎn)C的直線l與E相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)連結(jié)FQ，利用中垂線的性質(zhì)及橢圓的定義即得結(jié)論；
（2）證明：設(shè)P（x₀，y₀），可得3x₀²=4（3-y₀²），直線B₁P的方程為：y=$\frac{{y}_{0}+\sqrt{3}}{{x}_{0}}x-\sqrt{3}$．令y=0，得${x}_{C}=\frac{\sqrt{3}{x}_{0}}{\sqrt{3}+{y}_{0}}，同理得{x}_{D}=\frac{\sqrt{3}{x}_{0}}{\sqrt{3}-{y}_{0}}$，
|OC|•|OD|=|x_C|•|x_D|=|$\frac{3{{x}_{0}}^{2}}{3-{{y}_{0}}^{2}}$|=4（定值）；
（3）當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，0）時(shí)，點(diǎn)D（-4，0），|CD|=3，
設(shè)直線l的方程為：x=my-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$得（3m²+4）y²-6my-9=0
解得：${y}_{1}=\frac{3m-6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}，{y}_{2}=\frac{3m+\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$．
|y₁-y₂|=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，△ABD面積s=$\frac{1}{2}$×|y₁-y₂|=$\frac{3}{2}$$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{18\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{18}{3\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}}$；

解答 （1）解：連結(jié)FQ，則FQ=NQ，
∵M(jìn)Q+FQ=MQ+QN=MN=4＞ME，橢圓的定義即得點(diǎn)Q的軌跡為以點(diǎn)M、F為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為4的橢圓                                               
∴2a=4，即a=2，又∵焦點(diǎn)為（1，0），即c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
故點(diǎn)Q的軌跡C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
（2）證明：設(shè)P（x₀，y₀），直線B₁P的方程為：y=$\frac{{y}_{0}+\sqrt{3}}{{x}_{0}}x-\sqrt{3}$．
令y=0，得${x}_{C}=\frac{\sqrt{3}{x}_{0}}{\sqrt{3}+{y}_{0}}，同理得{x}_{D}=\frac{\sqrt{3}{x}_{0}}{\sqrt{3}-{y}_{0}}$，
|OC|•|OD|=|x_C|•|x_D|=|$\frac{3{{x}_{0}}^{2}}{3-{{y}_{0}}^{2}}$|
∵點(diǎn)P是曲線E上但不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$．即3x₀²=4（3-y₀²），
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$=4，|OC|•|OD|是否為定值4．
（3）當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，0）時(shí)，點(diǎn)D（-4，0），|CD|=3，
設(shè)直線l的方程為：x=my-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$得（3m²+4）y²-6my-9=0
解得：${y}_{1}=\frac{3m-6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}，{y}_{2}=\frac{3m+\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$．
|y₁-y₂|=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，△ABD面積s=$\frac{1}{2}$×|y₁-y₂|=$\frac{3}{2}$•$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{18\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{18}{3\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}}$；
∵$\sqrt{{m}^{2}+1}≥1$，根據(jù)∵$y=3x+\frac{1}{x}$在[1，+∞）遞增 可得3$\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}≥4$．
∴$s≤\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$
∴m=0，即直線AB：x=-1時(shí)，△ABD面積的最大為$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，主要考查運(yùn)算能力，屬于難題．