Question

14．已知曲線E的極坐標方程為$ρ=\frac{4tanθ}{cosθ}$，傾斜角為α的直線l過點P（2，2）．
（1）求E的直角坐標方程和直線l的參數方程；
（2）設l₁，l₂是過點P且關于直線x=2對稱的兩條直線，l₁與E交于A，B兩點，l₂與E交于C，D兩點．求證：|PA|：|PD|=|PC|：|PB|．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲線的直角坐標方程；由三角函數的關系求出直線l的參數方程即可；
（2）利用韋達定理和弦長公式能求出|PA|•|PB|及|PC|•|PD|的值，從而證出結論．

解答 解：（1）∵E的極坐標方程為$ρ=\frac{4tanθ}{cosθ}$，
∴ρ²cos²θ=4ρsinθ，
∴E：x²=4y（x≠0），
∴傾斜角為α的直線l過點P（2，2），
∴l(xiāng)：$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.$（t為參數）    （5分）
（2）∵l₁，l₂關于直線x=2對稱，
∴l(xiāng)₁，l₂的傾斜角互補．設l₁的傾斜角為α，則l₂的傾斜角為π-α，
把直線l₁：$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.$（t為參數）代入x²=4y并整理得：
t²cos²α+4（cosα-sinα）t-4=0，
根據韋達定理，t₁t₂=$-\frac{4}{{{{cos}^2}α}}$，即|PA|×|PB|=$\frac{4}{{{{cos}^2}α}}$．（8分）
同理即|PC|×|PD|=$\frac{4}{{{{cos}^2}（π-α）}}$=$\frac{4}{{{{cos}^2}α}}$．
∴|PA|×|PB|=|PC|×|PD|，
即|PA|：|PD|=|PC|：|PB|．（10分）

點評 本題考查曲線的極坐標方程化為直角坐標方程的應用，考查|PA|•|PB|及直線的傾斜角α的值的求法，是中題，解題時要注意韋達定理和弦長公式的合理應用．