Question

9．在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E為PC中點(diǎn)，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求證：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面PBD；
（Ⅲ）在線段PC上是否存在一點(diǎn)Q，使得二面角Q-BD-P為45°？若存在，求$\frac{{|{PQ}|}}{{|{PC}|}}$的值；若不存在，請述明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CD中點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF，則EF∥PD，AB$\underset{∥}{=}$DF，從而BF∥AD，進(jìn)而平面PAD∥平面BEF，由此能證明BE∥平面PAD．
（Ⅱ）推導(dǎo)出BC⊥PD，BC⊥BD，由此能證明BC⊥平面PBD．
（Ⅲ）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出在線段PC上存在Q（0，2$\sqrt{2}-2$，2-$\sqrt{2}$），使得二面角Q-BD-P為45°，$\frac{{|{PQ}|}}{{|{PC}|}}$=$\sqrt{2}-1$．

解答 證明：（Ⅰ取CD中點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF，
∵E為PC中點(diǎn)，AB=AD=PD=1，CD=2，
∴EF∥PD，AB$\underset{∥}{=}$DF，
∴四邊形ABFD是平行四邊形，∴BF∥AD，
∵EF∩BF=F，AD∩PD=D，BF、EF?平面BEF，AD、PD?平面ADP，
∴平面PAD∥平面BEF，
∵BE?平面BEF，∴BE∥平面PAD．
（Ⅱ）∵在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，
∴PD⊥底面ABCD，∴BC⊥PD，
∵底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2，
∴BD=BC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴BD²+BC²=CD²，∴BC⊥BD，
∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD．
解：（Ⅲ）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
D（0，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），C（0，2，0），設(shè)Q（0，b，c），
$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{DQ}$=（0，b，c），
設(shè)平面BDP的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
設(shè)平面BDQ的法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}={x}_{1}+{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DQ}=b{y}_{1}+c{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取x₁=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，$\frac{c}$），
∵二面角Q-BD-P為45°，
∴cos45°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{2+\frac{^{2}}{{c}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$\frac{c}$=$\sqrt{2}$，
∴Q（0，$\sqrt{2}c$，c），∴$\frac{c}{1}=\frac{2-\sqrt{2}c}{2}$，解得c=2-$\sqrt{2}$，∴Q（0，2$\sqrt{2}-2$，2-$\sqrt{2}$），
∴$\frac{{|{PQ}|}}{{|{PC}|}}$=$\frac{\sqrt{（2\sqrt{2}-2）^{2}+（2-\sqrt{2}-1）^{2}}}{\sqrt{（2-0）^{2}+（0-1）^{2}}}$=$\sqrt{2}-1$．
∴在線段PC上存在Q（0，2$\sqrt{2}-2$，2-$\sqrt{2}$），使得二面角Q-BD-P為45°，$\frac{{|{PQ}|}}{{|{PC}|}}$=$\sqrt{2}-1$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．