Question

6．已知曲線C的極坐標方程是ρ-4sinθ=0．以極點為原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l過點M（1，0），傾斜角為$\frac{3π}{4}$．
（1）求曲線C的直角坐標方程與直線l的參數(shù)方程；
（2）設直線l與曲線C交于A、B兩點，求|MA|+|MB|．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)極坐標和參數(shù)方程的定義進行求解即可．
（2）設A，B對應的參數(shù)分別為t₁，t₂，聯(lián)立方程求出結(jié)合|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|進行計算即可．

解答 解：（1）由ρ-4sinθ=0得ρ=4sinθ⇒ρ²=4ρsinθ⇒x²+y²-4y=0⇒x²+（y-2）²=4，
即曲線C的直角坐標方程為x²+（y-2）²=4，
∵直線l過點M（1，0），傾斜角為$\frac{3π}{4}$．
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{3π}{4}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=tsin\frac{3π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t是參數(shù)），
（2）設A，B對應的參數(shù)分別為t₁，t₂，把直線的參數(shù)方程代入曲線方程得（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$t-2）²=4，
整理得t²-3$\sqrt{2}$t+1=0，
則t₁+t₂=3$\sqrt{2}$，t₁t₂=1，
∴t₁＞0，t₂＞0，
則|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=|t₁|+|t₂|=3$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查參數(shù)方程，極坐標方程的應用，根據(jù)相應的轉(zhuǎn)換公式進行化簡是解決本題的關鍵．