Question

8．已知函數(shù)f（x）=sin⁴ωx-cos⁴ωx+2sinωxcosωx（ω＞0），點(diǎn)M，N是f（x）圖象的兩個(gè)相鄰的對(duì)稱中心，點(diǎn)H是f（x）圖象的一個(gè)最高點(diǎn)，三角形MNH的面積為$\frac{\sqrt{2}π}{4}$．
（1）求ω的值以及函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）銳角三角形ABC，邊c=2，所對(duì)角C滿足f（C）=1，求其面積S的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)函數(shù)，利用三角形MNH的面積為$\frac{\sqrt{2}π}{4}$，求ω的值，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）銳角三角形ABC，邊c=2，所對(duì)角C滿足f（C）=1，S=$\frac{1}{2}absinC$=2$\sqrt{2}$sinAsinB=$\sqrt{2}$cos（A-B）+1=$\sqrt{2}$cos（2A-135°），即可求其面積S的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=sin⁴ωx-cos⁴ωx+2sinωxcosωx=sin2ωx-cos2ωx=$\sqrt{2}$sin（2ωx-$\frac{π}{4}$），
∵三角形MNH的面積為$\frac{\sqrt{2}π}{4}$，
∴$\frac{1}{2}×\frac{π}{2ω}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}π}{4}$，
∴ω=1，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]（k∈Z）；
（2）由題意，sin（2C-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，三角形ABC是銳角三角形，
∴2C-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$，∴C=$\frac{π}{4}$，
由正弦定理可得2R=$\frac{c}{sinC}$=2$\sqrt{2}$，
S=$\frac{1}{2}absinC$=2$\sqrt{2}$sinAsinB=$\sqrt{2}$cos（A-B）+1=$\sqrt{2}$cos（2A-135°），
∵0°＜A＜90°，0°＜135°-A＜90°，
∴45°＜A＜90°，
∴-45°＜2A-135°＜45°，
∴1＜S≤$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查三角函數(shù)的圖形與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．