【題目】如圖,已知四棱錐,平面平面,四邊形是菱形,.
(1)若,證明:;
(2)若,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)根據(jù)題意,取中點(diǎn)為,通過證明平面進(jìn)而推證線線垂直;
(2)以對(duì)角線的交點(diǎn)為,建立直角坐標(biāo)系,求出兩個(gè)平面的法向量,通過求解法向量的夾角,進(jìn)而求得二面角的大小.
(1)取的中點(diǎn),連接,.如下圖所示:
∵,∴.
∵四邊形是菱形,且,
∴,∴.
∵,∴平面,
∴.
又在菱形中,,
∴.
(2)設(shè)與交于點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
不妨設(shè),
則,.
,.
由(1)知,
∵平面平面,
∴平面.
則,,,,
,
設(shè)平面的法向量為,
∵,∴,
取,得.
設(shè)平面的法向量為,
∵,∴,
取,得.
設(shè)平面與平面所成銳二面角為,
則.
故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某車間生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,已知制造一件甲產(chǎn)品需要種元件5個(gè),種元件2個(gè),制造一件乙種產(chǎn)品需要種元件3個(gè),種元件3個(gè),現(xiàn)在只有種元件180個(gè),種元件135個(gè),每件甲產(chǎn)品可獲利潤(rùn)20元,每件乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)15元,試問在這種條件下,應(yīng)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃才能得到最大利潤(rùn)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)且a≠1,函數(shù).
(1)判斷并證明f(x)和g(x)的奇偶性;
(2)求g(x)的值域;
(3)若x∈R,都有|f(x)|≥|g(x)|成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,若存在,求出a的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了研究每周累計(jì)戶外暴露時(shí)間是否足夠(單位:小時(shí))與近視發(fā)病率的關(guān)系,對(duì)某中學(xué)一年級(jí)名學(xué)生進(jìn)行不記名問卷調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):
(1)用樣本估計(jì)總體思想估計(jì)該中學(xué)一年級(jí)學(xué)生的近視率;
(2)能否認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為不足夠的戶外暴露時(shí)間與近視有關(guān)系?
附:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某教師調(diào)查了名高三學(xué)生購買的數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書的數(shù)量,將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)制成如下表格:
男生 | 女生 | 總計(jì) | |
購買數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書超過本 | |||
購買數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書不超過本 | |||
總計(jì) |
(Ⅰ)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),是否有的把握認(rèn)為購買數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書的數(shù)量與性別相關(guān);
(Ⅱ)從購買數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書不超過本的學(xué)生中,按照性別分層抽樣抽取人,再從這人中隨機(jī)抽取人詢問購買原因,求恰有名男生被抽到的概率.
附: , .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,,
(Ⅰ)證明;AC⊥BP;
(Ⅱ)求直線AD與平面APC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=|2x﹣1|﹣|2x+1|.
(1)求不等式f(x)>1的解集.
(2)當(dāng)時(shí),求證:4x2+4x+2>(2x+1)f(x).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有兩種理財(cái)產(chǎn)品和,投資這兩種理財(cái)產(chǎn)品一年后盈虧的情況如下(每種理財(cái)產(chǎn)品的不同投資結(jié)果之間相互獨(dú)立):
產(chǎn)品:
投資結(jié)果 | 獲利 | 不賠不賺 | 虧損 |
概率 |
產(chǎn)品:
投資結(jié)果 | 獲利 | 不賠不賺 | 虧損 |
概率 |
注:,
(1)若甲、乙兩人分別選擇了產(chǎn)品投資,一年后他們中至少有一人獲利的概率大于,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若丙要將20萬元人民幣投資其中一種產(chǎn)品,以一年后的投資收益的期望值為決策依據(jù),則丙選擇哪種產(chǎn)品投資較為理想.
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