Question

11．已知函數(shù)$f（x）=xlnx-\frac{a}{2}{x^2}$，直線l：y=（k-2）x-k+1，且k∈Z．
（1）若$?{x_0}∈[{e，{e^2}}]$，使得f（x₀）＞0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)a=0，當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線l的上方，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）問題轉(zhuǎn)化為$a＜\frac{2lnx}{x}$，令$h（x）=\frac{2lnx}{x}$，x∈[e，e²]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最大值，從而求出a的范圍即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為$k＜\frac{xlnx+2x-1}{x-1}$，令$h（x）=\frac{xlnx+2x-1}{x-1}（x＞1）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，從而求出k的最大整數(shù)值即可．

解答 解：（1）由題意可得$\frac{a}{2}{x^2}＜xlnx$，即$a＜\frac{2lnx}{x}$，
令$h（x）=\frac{2lnx}{x}$，x∈[e，e²]，
∴$h'（x）=\frac{2-2lnx}{x^2}$，
令h'（x）＞0，解得0＜x＜e，
∴h（x）在x∈[e，e²]上遞減，
∴當(dāng)x=e時(shí)，$h{（x）_{max}}=\frac{2}{e}$，
∴$a＜\frac{2}{e}$，即a的取值范圍是$（-∞，\frac{2}{e}）$．
（2）由題意可知xlnx＞x（k-2）-k+1在x∈（1，+∞）上恒成立，
即$k＜\frac{xlnx+2x-1}{x-1}$，
令$h（x）=\frac{xlnx+2x-1}{x-1}（x＞1）$，
∴$h'（x）=\frac{x-lnx-2}{{{{（x-1）}^2}}}$，
令φ（x）=x-lnx-2（x＞1），$φ'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}＞0$，
∴φ（x）在x∈（1，+∞）上遞增，又φ（3）=1-ln3＜0，φ（4）=2-ln4＞0，
∴存在唯一實(shí)數(shù)x₀∈（3，4），使得φ（x₀）=0，即x₀-lnx₀-2=0，（*）
∴h（x）在x∈（1，x₀）上遞減，在x∈（x₀，+∞）上遞增，
∴h（x）_min=h（x₀）=$\frac{{{x_0}ln{x_0}+2{x_0}-1}}{{{x_0}-1}}=\frac{{{x_0}（{x_0}-2）+2{x_0}-1}}{{{x_0}-1}}={x_0}+1∈（4，5）$，
∴k＜h（x）_min，又k∈Z，∴k的最大值為4．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．