Question

20．如圖，在等腰三角形ABC中，已知|AB|=|AC|=1，∠A=120°，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點，且$\overrightarrow{AE}=λ\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AF}=μ\overrightarrow{AC}$，（其中λ，μ∈（0，1）），且λ+4μ=1，若線段EF，BC的中點分別為M，N，則$\overrightarrow{MN}$的最小值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 由向量的數(shù)量積公式求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-$\frac{1}{2}$，連接AM、AN，利用三角形中線的性質(zhì)得出$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AN}$，再根據(jù)向量的數(shù)量積公式和向量的加減的幾何意義得${\overrightarrow{MN}}^{2}$=$\frac{21}{4}$μ²-$\frac{3}{2}$μ+$\frac{1}{4}$，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得最小值．

解答 解：連接AM、AN，
∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos120°=-$\frac{1}{2}$
∵AM是△AEF的中線，
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{AF}$）=$\frac{1}{2}$（λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$）
同理，可得$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
由此可得$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$（1-μ）$\overrightarrow{AC}$
∴${\overrightarrow{MN}}^{2}$=[$\frac{1}{2}$（1-λ）+$\frac{1}{2}$（1-μ）]²=$\frac{1}{4}$（1-λ）²+$\frac{1}{2}$（1-λ）（1-μ）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+（1-μ）²=$\frac{1}{4}$（1-λ）²-$\frac{1}{4}$（1-λ）（1-μ）+$\frac{1}{4}$（1-μ）²，
∵λ+4μ=1，可得1-λ=4μ，
∴代入上式得${\overrightarrow{MN}}^{2}$=$\frac{1}{4}$×（4μ）²-$\frac{1}{4}$×4μ（1-μ）+（1-μ）²=$\frac{21}{4}$μ²-$\frac{3}{2}$μ+$\frac{1}{4}$
∵λ，μ∈（0，1），
∴當μ=時，${\overrightarrow{MN}}^{2}$的最小值為$\frac{1}{7}$，此時|$\overrightarrow{MN}$|的最小值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{7}}{7}$

點評 本題給出含有120度等腰三角形中的向量，求向量$\overrightarrow{MN}$模的最小值，著重考查了平面向量數(shù)量積公式及其運算性質(zhì)和二次函數(shù)的最值求法等知識，屬于難題．