Question

12．若對任意x∈[2，4]及y∈[2，3]，該不等式xy≤ax²+2y²恒成立，則實(shí)數(shù)a的范圍是a≥0．

Answer 1

分析 若不等式xy≤ax²+2y²恒成立，則a≥-2（$\frac{y}{x}$）²+$\frac{y}{x}$恒成立，令t=$\frac{y}{x}$，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得函數(shù)的最值，可得答案．

解答 解：若不等式xy≤ax²+2y²恒成立，
則a≥-2（$\frac{y}{x}$）²+$\frac{y}{x}$恒成立，
令t=$\frac{y}{x}$，x∈[2，4]，y∈[2，3]，則t∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
則u=-2（$\frac{y}{x}$）²+$\frac{y}{x}$=-2t²+t在[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上為減函數(shù)，
當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，u取最大值0，
故a≥0，
故答案為：a≥0

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是恒成立問題，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的最值及其幾何意義，難度中檔．