Question

4．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=f（x），f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+1，\;\;-1≤x≤1\\-|{x-2}|+1，\;1＜x≤3\end{array}$．若關(guān)于x的方程f（x）-ax=0有5個(gè)不同實(shí)根，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $（{\frac{1}{4}，\frac{1}{3}}）$
• B． $（{\frac{1}{6}，\frac{1}{4}}）$
• C． $（{16-6\sqrt{7}，\frac{1}{6}}）$
• D． $（{\frac{1}{6}，8-2\sqrt{15}}）$

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，做出函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=ax的圖象，由圖象可得方程y=-（x-4）²+1=ax 在（3，5）上有2個(gè)實(shí)數(shù)根，解得 0＜a＜8-2$\sqrt{15}$．再由方程f（x）=ax 在（5，6）內(nèi)無解可得6a＞1．由此求得正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題意可得函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，做出
函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=ax的圖象，
由圖象可得方程y=-（x-4）²+1=ax 即 x²+（a-8）x+15=0
在（3，5）上有2個(gè)實(shí)數(shù)根，
由$\left\{\begin{array}{l}{△=（a-8）^{2}-60＞0}\\{9+3（a-8）+15＞0}\\{25+5（a-8）+15＞0}\\{3＜\frac{8-a}{2}＜5}\end{array}\right.$解得 0＜a＜8-2$\sqrt{15}$．
再由方程f（x）=ax 在（5，6）內(nèi)無解可得6a＞1，a＞$\frac{1}{6}$．
綜上可得 $\frac{1}{6}$＜a＜8-2$\sqrt{15}$，
故選 D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，以及函數(shù)與方程的思想，解答關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．