Question

9．在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC=$\frac{1}{2}$BC=1，E是PC的中點，面PAC⊥面ABCD．
（Ⅰ）證明：ED∥面PAB；
（Ⅱ）若PB=PC=2，求點P到面ABCD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PB的中點F，連接AF，EF，證明：四邊形ADEF是平行四邊形，可得DE∥AF，即可證明ED∥面PAB；
（Ⅱ）取BC的中點M，連接AM，面PAC內(nèi)做PH⊥AC于H，又面PAC⊥面ABCD，且面PAC∩面ABCD=AC，所以PH⊥面ABCD，即可求點P到面ABCD的距離．

解答 （Ⅰ）證明：取PB的中點F，連接AF，EF．（1分）
因為EF是△PBC的中位線，所以$EF\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}BC$．（2分）
又$AD\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}BC$，所以$AD\underline{\underline{∥}}EF$，所以四邊形ADEF是平行四邊形．（3分）
所以DE∥AF，又DE?面ABP，AF?面ABP，所以ED∥面PAB．（5分）
（Ⅱ）解：取BC的中點M，連接AM，則$AD\underline{\underline{∥}}MC$，
所以四邊形ADCM是平行四邊形．
所以AM=MC=MB，所以A在以BC為直徑的圓上．（6分）
所以AB⊥AC，可得$AC=\sqrt{3}$．（7分）
因為面PAC⊥面ABCD，且面PAC∩面ABCD=AC，
所以AB⊥面PAC，（8分）
即AB⊥PA，可得$PA=\sqrt{3}$．（9分）
在面PAC內(nèi)做PH⊥AC于H，又面PAC⊥面ABCD，且面PAC∩面ABCD=AC，所以PH⊥面ABCD．（10分）
由余弦定理可得$cos∠PAC=\frac{{P{A^2}+C{A^2}-P{C^2}}}{2•PA•CA}=\frac{1}{3}$，所以$sin∠PAC=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．（11分）$PH=PA•sin∠PAC=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，即P到面ABCD的距離為$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．（12分）

點評 本題考查線面平行的判定，考查點面距離的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．