Question

20．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$與拋物線y²=2px（p＞0）共焦點F₂，拋物線上的點M到y(tǒng)軸的距離等于|MF₂|-1，且橢圓與拋物線的交點Q滿足|QF₂|=$\frac{5}{2}$．
（Ⅰ）求拋物線的方程和橢圓的方程；
（Ⅱ）過拋物線上的點P作拋物線的切線y=kx+m交橢圓于A、B兩點，求此切線在x軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由拋物線的性質(zhì)，求得x=-1是拋物線y²=2px的準(zhǔn)線，則$-\frac{p}{2}=-1$，求得p的值，求得焦點坐標(biāo)，代入拋物線方程求得Q點坐標(biāo)，利用橢圓的定義，即可求得a的值，由b²=a²-c²=8，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）將直線分別代入拋物線，由△=0，求得km=1，將直線方程代入橢圓方程，求得△＞0，代入即可求得m的取值范圍，切線在x軸上的截距為$x=-\frac{m}{k}$，又$-\frac{m}{k}=-{m^2}＞-9$，即可求得切線在x軸上的截距的取值范圍．

解答 解：（I）∵拋物線上的點M到y(tǒng)軸的距離等于|MF₂|-1，
∴點M到直線x=-1的距離等于點M到焦點F₂的距離，---------------（1分）
得x=-1是拋物線y²=2px的準(zhǔn)線，即$-\frac{p}{2}=-1$，
解得：p=2，
∴拋物線的方程為y²=4x；-----------------------------------（3分）
可知橢圓的右焦點F₂（1，0），左焦點F₁（-1，0），
由拋物線的定義及$|Q{F_2}|=\frac{5}{2}$，得${x_Q}+1=\frac{5}{2}$，
又${y_Q}^2=4{x_Q}$，解得：$Q（\frac{3}{2}，\;±\sqrt{6}）$，-----------------------------------（4分）
由橢圓的定義得2a=|QF₁|+|QF₂|=$\frac{7}{2}+\frac{5}{2}=6$，----------------------（5分）
∴a=3，又c=1，得b²=a²-c²=8，
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$．-------------------------------------------------（6分）
（ II）顯然k≠0，m≠0，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$，消去x，得ky²-4y+4m=0，
由題意知△₁=16-16km=0，得km=1，-----------------------------------（7分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1}\end{array}}\right.$，消去y，得（9k²+8）x²+18kmx+9m²-72=0，
其中${△_2}={（18km）^2}-4$（9k²+8）（9m²-72）＞0，
化簡得9k²-m²+8＞0，-------------------------------------------------------（9分）
又$k=\frac{1}{m}$，得m⁴-8m²-9＜0，解得0＜m²＜9，--------------------（10分）
切線在x軸上的截距為$x=-\frac{m}{k}$，又$-\frac{m}{k}=-{m^2}＞-9$，
∴切線在x軸上的截距的取值范圍是（-9，0）．----------------------------------（12分）

點評 本題考查橢圓及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與拋物線及橢圓的位置關(guān)系，考查計算能力，屬于中檔題．