Question

4．已知拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)M到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為5，則直線l的斜率為（　�。�

• A． $±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． ±1
• C． $±\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• D． $±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$

Answer 1

分析 求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，由x₀+$\frac{p}{2}$=5，求得x₀=4，作差$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2}{{y}_{0}}$，由$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-1}$．聯(lián)立即可求得y₀，即可求得直線l的斜率．

解答 解：物線C：y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，
由弦AB的中點(diǎn)M到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為5，即x₀+$\frac{p}{2}$=5，則x₀=4，
$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}^{2}=4{x}_{1}}\\{{y}_{1}^{2}=4{x}_{2}}\end{array}\right.$，兩式相減得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
則$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2}{{y}_{0}}$，即k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-1}$．
則$\frac{2}{{y}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-1}$．$\frac{2}{{y}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}}{4-1}$，則y₀=±$\sqrt{6}$，
∴直線l的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-1}$=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與拋物線相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、中點(diǎn)坐標(biāo)公式與斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．