Question

10．已知函數f（x）=$\frac{2mx-{m}^{2}+1}{{x}^{2}+1}$（x∈R）．
（1）當m=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）當m=2時，求函數f（x）的單調區(qū)間與極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f（2），f′（2），求出切線方程即可；
（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的極值即可．

解答 解：（1）當m=1時，f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，f（2）=$\frac{4}{5}$，
又因為f′（x）=$\frac{2（1{-x}^{2}）}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$=，則f′（2）=-$\frac{6}{25}$．
所以曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為
y-$\frac{4}{5}$=-$\frac{6}{25}$（x-2），即6x+25y-32=0．
（2）f′（x）=$\frac{-2（x-m）（mx+1）}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，m=2時
令f′（x）=0，得到x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=2，
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-$\frac{1}{2}$）	-$\frac{1}{2}$	（-$\frac{1}{2}$，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

從而f（x）在區(qū)間（-∞，-$\frac{1}{2}$），（2，+∞）內為減函數，在區(qū)間（-$\frac{1}{2}$，2）內為增函數，
故函數f（x）在點x₁=-$\frac{1}{2}$處取得極小值f（-$\frac{1}{2}$），且f（-$\frac{1}{2}$）=-4，
函數f（x）在點x₂=2處取得極大值f（2），且f（2）=1．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．