Question

設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的最大值；
（2）令，其圖象上存在一點(diǎn)，使此處切線的斜率，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)，時(shí)，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值.

Answer 1

（1）函數(shù)的最大值為；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）.

試題分析：（1）將，代入函數(shù)的解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值；（2）先確定函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，利用恒成立的思想進(jìn)行求解；（3）方法一是利用參數(shù)分離，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程、有且僅有一個(gè)實(shí)根，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值從而求出參數(shù)的值；方法二是直接構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，并對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，從而求出參數(shù)的值.
試題解析：（1）依題意，的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024553202566.png" style="vertical-align:middle;" />，
當(dāng)，時(shí)，，，
由 ，得，解得；
由 ，得，解得或.
，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
所以的極大值為，此即為最大值；
（2），，則有在上有解，
∴，
，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，；
（3）方法1：由得，令，，
令，，∴在單調(diào)遞增，
而，∴在，，即，在，，即，
∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
∴極小值為，令，即時(shí)方程有唯一實(shí)數(shù)解.
方法2：因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024553608757.png" style="vertical-align:middle;" />有唯一實(shí)數(shù)解，所以有唯一實(shí)數(shù)解，
設(shè)，則，令，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024554263457.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以（舍去），，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，取最小值.
若方程有唯一實(shí)數(shù)解，
則必有 即 
所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024554606479.png" style="vertical-align:middle;" />所以              12分
設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解.
∵，∴方程(*)的解為，即，解得.