Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=BB₁，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
（1）求證：BC₁∥平面DCA₁；
（2）設(shè)點(diǎn)E在線(xiàn)段B₁C₁上，B₁E=λ•B₁C₁，且使直線(xiàn)BE和平面ABB₁A₁所成的角的正弦值為

10

10

，求λ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面平行的判定,直線(xiàn)與平面所成的角

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）先證明出BC₁∥DE，繼而根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理證明出BC₁∥平面CA₁D．
（2）過(guò)C₁，E分別作C₁D₁⊥A₁B₁于點(diǎn)D₁，EE₁⊥A₁B₁于點(diǎn)E₁，連接BE，BE₁，可得：∠EBE₁即為直線(xiàn)BE和平面ABB₁A₁所成的角，結(jié)合直線(xiàn)BE和平面ABB₁A₁所成的角的正弦值為

10

10

，可得λ的值．

解答： 證明：（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
連接AC₁交A₁C于點(diǎn)M，連接DM，則M是AC₁的中點(diǎn)，

在△ABC₁中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，所以DM∥BC₁，
又DM?平面DCA₁，BC₁?平面DCA₁，
所以BC₁∥平面DCA₁．              
解：（2）在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)
所以CD⊥AB，又CD⊥DA₁，AB，DA₁是平面ABB₁A₁內(nèi)的相交直線(xiàn)，
所以CD⊥平面ABB₁A₁，可知CD⊥BB₁．（7分） 
又AB⊥BB₁，AB∩CD=D，AB，CD?平面ABC，
∴BB₁⊥平面ABC，
又∵平面ABC∥平面A₁B₁C₁，
∴BB₁⊥平面A₁B₁C₁，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AB的中點(diǎn)，

過(guò)C₁，E分別作C₁D₁⊥A₁B₁于點(diǎn)D₁，EE₁⊥A₁B₁于點(diǎn)E₁，
連接BE，BE₁，
由BB₁⊥平面A₁B₁C₁，EE₁?平面A₁B₁C₁，
∴BB₁⊥EE₁，又由EE₁⊥A₁B₁，BB₁∩A₁B₁=B₁，BB₁，A₁B₁?平面A₁B₁BA，
∴EE₁⊥平面A₁B₁BA，
∴BE₁即為BE在平面SAB內(nèi)的射影，
∴∠EBE₁即為直線(xiàn)BE和平面ABB₁A₁所成的角，
設(shè)AC=BC=BB₁=1，
由B₁E=λ•B₁C₁可得：B₁E=λ，
可得：EE₁=

2

2

λ，BE=

1+λ2

所以在Rt△BE₁E中，sin∠EBE1=

EE

BE

=

2 2 λ

1+λ2

=

10

10

，
解得λ=

1

2

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與平面垂直的判斷，面面垂直的性質(zhì)，二面的平面角及求法，是空間線(xiàn)面關(guān)系和線(xiàn)面夾角的綜合應(yīng)用，難度中檔．