【題目】已知f(x)=ax3﹣3x2+1(a>0),定義h(x)=max{f(x),g(x)}= .
(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若g(x)=xf'(x),且存在x∈[1,2]使h(x)=f(x),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若g(x)=lnx,試討論函數(shù)h(x)(x>0)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】
(1)解:∵函數(shù)f(x)=ax3﹣3x2+1,
∴f'(x)=3ax2﹣6x=3x(ax﹣2)
令f'(x)=0,得x1=0或 ,∵a>0,∴x1<x2,
列表如下:
x | (﹣∞,0) | 0 | |||
f'(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
f(x) | ↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
∴f(x)的極大值為f(0)=1,極小值為
(2)解:g(x)=xf'(x)=3ax3﹣6x2,∵存在x∈[1,2]使h(x)=f(x),
∴f(x)≥g(x)在x∈[1,2]上有解,即ax3﹣3x2+1≥3ax3﹣6x2在x∈[1,2]上有解,
即不等式 在x∈[1,2]上有解,
設(shè) ,∵ 對(duì)x∈[1,2]恒成立,
∴ 在x∈[1,2]上單調(diào)遞減,∴當(dāng)x=1時(shí), 的最大值為4,
∴2a≤4,即a≤2
(3)解:由(1)知,f(x)在(0,+∞)上的最小值為 ,
①當(dāng) ,即a>2時(shí),f(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
∴h(x)=max{f(x),g(x)}在(0,+∞)上無零點(diǎn)
②當(dāng) ,即a=2時(shí),f(x)min=f(1)=0,又g(1)=0,
∴h(x)=max{f(x),g(x)}在(0,+∞)上有一個(gè)零點(diǎn)
③當(dāng) ,即0<a<2時(shí),設(shè)φ(x)=f(x)﹣g(x)=ax3﹣3x2+1﹣lnx(0<x<1),
∵ ,∴φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,
又 ,∴存在唯一的 ,使得φ(x0)=0.
Ⅰ.當(dāng)0<x≤x0時(shí),
∵φ(x)=f(x)﹣g(x)≥φ(x0)=0,∴h(x)=f(x)且h(x)為減函數(shù),
又h(x0)=f(x0)=g(x0)=lnx0<ln1=0,f(0)=1>0,∴h(x)在(0,x0)上有一個(gè)零點(diǎn);
Ⅱ.當(dāng)x>x0時(shí),
∵φ(x)=f(x)﹣g(x)<φ(x0)=0,∴h(x)=g(x)且h(x)為增函數(shù),
∵g(1)=0,∴h(x)在(x0,+∞)上有一個(gè)零點(diǎn);
從而h(x)=max{f(x),g(x)}在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)
綜上所述,當(dāng)0<a<2時(shí),h(x)有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a=2時(shí),h(x)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a>2時(shí),h(x)有無零點(diǎn)
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值即可;(2)問題轉(zhuǎn)化為不等式 在x∈[1,2]上有解,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可;(3)通過討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減,以及對(duì)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解,了解求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
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A. 平均數(shù)為14,方差為5 B. 平均數(shù)為13,方差為25
C. 平均數(shù)為13,方差為5 D. 平均數(shù)為14,方差為2
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A. B. C. D.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=3x+λ3﹣x(λ∈R).
(1)若f(x)為奇函數(shù),求λ的值和此時(shí)不等式f(x)>1的解集;
(2)若不等式f(x)≤6對(duì)x∈[0,2]恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
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【題目】橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(-,0)和F2(,0),且橢圓過點(diǎn)
(1)求橢圓方程;
(2)過點(diǎn)作不與y軸垂直的直線l交該橢圓于M,N兩點(diǎn),A為橢圓的左頂點(diǎn),證明.
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(1)用隨機(jī)變量X表示張某在測試中通過的項(xiàng)目個(gè)數(shù),求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X)(用a表示);
(2)若張某通過一個(gè)項(xiàng)目的概率最大,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,∠BAD= , AB=2,CD=3,M為PC上一點(diǎn),PM=2MC.
(Ⅰ)證明:BM∥平面PAD;
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(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)若曲線C與x軸的交點(diǎn)為A1 , A2 , 點(diǎn)M是曲線C上異于點(diǎn)A1 , A2的點(diǎn),直線A1M與A2M的斜率分別為k1 , k2 , 求k1k2的值.
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