7.若不等式(-1)na<2+$\frac{1}{n}$(-1)n+1對(duì)?n∈N*恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2,$\frac{3}{2}$].

分析 若n為正奇數(shù),-a<2+$\frac{1}{n}$恒成立?-a<(2+$\frac{1}{n}$)min,可解得:a≥-2;若n為正偶數(shù),a<2-$\frac{1}{n}$恒成立?-a<(2-$\frac{1}{n}$)min,利用函數(shù)的單調(diào)性可得a≤$\frac{3}{2}$.從而可得答案.

解答 解:若n為正奇數(shù),則-a<2+$\frac{1}{n}$恒成立?-a<(2+$\frac{1}{n}$)min,由于y=2+$\frac{1}{n}$為減函數(shù),當(dāng)n→+∞時(shí),y→0,故-a≤2,解得:a≥-2;
若n為正偶數(shù),則a<2-$\frac{1}{n}$恒成立?-a<(2-$\frac{1}{n}$)min,由于y=2-$\frac{1}{n}$為增函數(shù),當(dāng)n=2時(shí),y=2-$\frac{1}{n}$取得最小值(2-$\frac{1}{2}$)=$\frac{3}{2}$,故a≤$\frac{3}{2}$.
因?yàn)椴坏仁剑?1)na<2+$\frac{1}{n}$(-1)n+1對(duì)?n∈N*恒成立,
所以,-2≤a≤$\frac{3}{2}$.
故答案為:[-2,$\frac{3}{2}$].

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題,考查分類討論思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用,考查邏輯思維能力與運(yùn)算求解能力,屬于難題.

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