Question

18．已知函數(shù)f（x）=sinωx+λcosωx，其圖象的一個對稱中心到最近的一條對稱軸的距離為$\frac{π}{4}$，且在x=$\frac{π}{12}$處取得最大值．
（1）求λ的值．
（2）設(shè)$g（x）=af（x）+cos（4x-\frac{π}{3}）$在區(qū)間$（\frac{π}{4}，\frac{π}{3}）$上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡f（x）為正弦型函數(shù)，利用函數(shù)的周期和最值求出ω、λ的值；
（2）由f（x）寫出g（x）的解析式，利用換元法和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=sinωx+λcosωx=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$sin（ωx+φ），其中tanφ=λ；
由題可得$\frac{π}{4}$=$\frac{T}{4}$，
∴T=π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=2，
∵x=$\frac{π}{12}$處取得最大值，
∴$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴λ=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$；
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴$g（x）=af（x）+cos（4x-\frac{π}{3}）$=2asin（2x+$\frac{π}{3}$）+cos（4x-$\frac{π}{3}$）
=2asin（2x+$\frac{π}{3}$）+2cos²（2x-$\frac{π}{6}$）-1
=2asin（2x+$\frac{π}{3}$）+2sin²（2x+$\frac{π}{3}$）-1；
設(shè)t=sin（2x+$\frac{π}{3}$），其中x∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$），
∴2x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{5π}{6}$，π），
0＜sin（2x+$\frac{π}{3}$）＜$\frac{1}{2}$，
函數(shù)t=sin（2x+$\frac{π}{3}$）是單調(diào)減函數(shù)，且0＜t＜$\frac{1}{2}$；
∴函數(shù)g（t）=2t²+2at-1，在對稱軸t=-$\frac{a}{2}$的左側(cè)單調(diào)遞減，
令-$\frac{a}{2}$≥$\frac{1}{2}$，解得a≤-1，
∴a的取值范圍是a≤-1．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的化簡與應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．