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4.如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,BC=2AD=4.AB=2BC=2CD=25,M為棱PC上一點(diǎn).
(1)求證:平面BDM⊥平面PAD;
(2)當(dāng)三棱錐P-ABD的體積是三棱錐M-PBD體積的3倍時(shí),求PMMC的值.

分析 (1)推導(dǎo)出AD⊥BD,由平面PAD⊥平面ABCD,得到BD⊥平面PAD,由此能證明平面MBD⊥平面PAD.
(2)三棱錐P-MBD的體積=mm+1×三棱錐P-BCD的體積,VP-ABD=2VP-BCD,由三棱錐P-ABD的體積是三棱錐M-PBD體積的3倍,得到VP-MBD=23VPBCD,由此能求出PMMC的值.

解答 證明:(1)在△ABD中,∵AD=2,BD=4,AB=25
∴AD2+BD2=AB2,∴AD⊥BD,
又平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,BD?平面ABCD,
∴BD⊥平面PAD,
∵BD?平面MBD,∴平面MBD⊥平面PAD.
解:(2)設(shè)PMMC=m,則PM=mMC,
∴三棱錐P-MBD的體積=mm+1×三棱錐P-BCD的體積,
∵AB=2DC=25,∴S△ABD=2S△BCD
∴VP-ABD=2VP-BCD,
∵三棱錐P-ABD的體積是三棱錐M-PBD體積的3倍,
∴VP-MBD=23VPBCD
mm+1=23,解得m=2.故PMMC的值為2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明,考查三棱錐的體積的求法及應(yīng)用,考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

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