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9.如圖,已知圓E:x2+(y-122=94經(jīng)過(guò)橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為A,且F1,E,A三點(diǎn)共線.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)與直線OA(O為原點(diǎn))平行的直線l交橢圓C于M,N兩點(diǎn).
使 OMON=32,若存在,求直線l的方程,不存在說(shuō)明理由.

分析 (1)由F1,E,A三點(diǎn)共線,得F1A為圓E的直徑,且F1A=3,從而F2A⊥F1F2,由圓E:x2+(y-122=94經(jīng)過(guò)橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為A,求出c=2,2a=|AF1|+|AF2|=4,由此能求出橢圓C的方程.
(2)由A(21),知kOA=22,假設(shè)存在直線l:y=22x+m滿足條件,由{y=22x+mx24+y22=1,得x2+2mx+m22=0,利用韋達(dá)定理、根的判別式、向量的數(shù)量積,結(jié)合已知條件能求出存在直線l:y=22x±1滿足條件.

解答 解:(1)∵F1,E,A三點(diǎn)共線,∴F1A為圓E的直徑,且F1A=3,
∴F2A⊥F1F2,
x2+0122=94,得x=±2,∴c=2
∵|AF2|2=|AF1|2-|F1F2|2=9-8=1,∴F2A=1,
∴2a=|AF1|+|AF2|=4,a=2,
∵a2=b2+c2,∴b=2,
∴橢圓C的方程為x216+y24=1.
(2)∵A(21),∴kOA=22,
假設(shè)存在直線l:y=22x+m滿足條件,
{y=22x+mx24+y22=1,得x2+2mx+m22=0
設(shè)直線l交橢圓C于M(x1,y1),N(x2,y2),
x1+x2=2m,x1x2=m22
且△=2m2-4(m2-2)>0,即-2<m<2,
OMON=x1x2+y1y2=x1x2+(22x1+m)(22x2+m
=32x1x2+22mx1+x2+m2
=32m22+22m2m+m2=32m22,
OMON=32,∴32m22=32,解得m=±1.
∴存在直線l:y=22x±1滿足條件.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程求法,考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法,考查橢圓、韋達(dá)定理、根的判別式、直線方程、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

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