分析 (1)由F1,E,A三點(diǎn)共線,得F1A為圓E的直徑,且F1A=3,從而F2A⊥F1F2,由圓E:x2+(y-12)2=94經(jīng)過(guò)橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為A,求出c=√2,2a=|AF1|+|AF2|=4,由此能求出橢圓C的方程.
(2)由A(√2,1),知kOA=√22,假設(shè)存在直線l:y=√22x+m滿足條件,由{y=√22x+mx24+y22=1,得x2+√2mx+m2−2=0,利用韋達(dá)定理、根的判別式、向量的數(shù)量積,結(jié)合已知條件能求出存在直線l:y=√22x±1滿足條件.
解答 解:(1)∵F1,E,A三點(diǎn)共線,∴F1A為圓E的直徑,且F1A=3,
∴F2A⊥F1F2,
∵x2+(0−12)2=94,得x=±√2,∴c=√2,
∵|AF2|2=|AF1|2-|F1F2|2=9-8=1,∴F2A=1,
∴2a=|AF1|+|AF2|=4,a=2,
∵a2=b2+c2,∴b=√2,
∴橢圓C的方程為x216+y24=1.
(2)∵A(√2,1),∴kOA=√22,
假設(shè)存在直線l:y=√22x+m滿足條件,
由{y=√22x+mx24+y22=1,得x2+√2mx+m2−2=0,
設(shè)直線l交橢圓C于M(x1,y1),N(x2,y2),
則x1+x2=−√2m,x1x2=m2−2,
且△=2m2-4(m2-2)>0,即-2<m<2,
∴→OM•→ON=x1x2+y1y2=x1x2+(√22x1+m)(√22x2+m)
=32x1x2+√22m(x1+x2)+m2
=32(m2−2)+√22m(−√2m)+m2=32(m2−2),
∵→OM•→ON=−32,∴32(m2−2)=−32,解得m=±1.
∴存在直線l:y=√22x±1滿足條件.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程求法,考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法,考查橢圓、韋達(dá)定理、根的判別式、直線方程、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.
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A. | x28-y22=1 | B. | y22-x28=1 | C. | x24-y2=1 | D. | y2-x24=1 |
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A. | x28−y210=1 | B. | x210−y28=1 | C. | x216−y220=1 | D. | x220−y216=1 |
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