Question

18．在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}}\right.$（α為參數(shù)），M是C₁上的動點，動點P滿足OP=3OM．
（1）求動點P的軌跡C₂的參數(shù)方程；
（2）在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線$θ=\frac{π}{6}$與C₁異于極點的交點為A，與C₂異于極點的交點為B，求AB．

Answer 1

分析 （1）設P（x，y），M（x₀，y₀），由$\overrightarrow{OP}$=3$\overrightarrow{OM}$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=3{x_0}}\\{y=3{y_0}}\end{array}}\right.$，又M的C₁上，可得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=cosα}\\{{y_0}=1+sinα}\end{array}}\right.$（α為參數(shù)），代入消去x₀，y₀即可得出．
（2）解法一：C₁的參數(shù)方程化為普通方程為x²+y²-2y=0，可得對應的極坐標方程，C₂的參數(shù)方程化為普通方程，可得對應的極坐標方程為，進而得出．
解法二：C₁的參數(shù)方程化為普通方程為x²+y²-2y=0，C₂的參數(shù)方程化為普通方程為x²+y²-6y=0，又射線$θ=\frac{π}{6}$化為普通方程為$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x（{x≥0}）$，分別聯(lián)立解得交點A，B的坐標，利用兩點之間的距離公式即可得出．

解答 解：（1）設P（x，y），M（x₀，y₀），由$\overrightarrow{OP}$=3$\overrightarrow{OM}$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=3{x_0}}\\{y=3{y_0}}\end{array}}\right.$  ①，
又M的C₁上，∴$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=cosα}\\{{y_0}=1+sinα}\end{array}}\right.$（α為參數(shù)），②
將②代入①得$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=3+3sinα}\end{array}}\right.$（α為參數(shù)），即為C₂的參數(shù)方程．
（2）解法一：C₁的參數(shù)方程化為普通方程為x²+y²-2y=0，
對應的極坐標方程為ρ=2sinθ，C₂的參數(shù)方程化為普通方程為x²+y²-6y=0，
對應的極坐標方程為ρ=6sinθ，
當$θ=\frac{π}{6}$時，$A（{1，\frac{π}{6}}），B（{3，\frac{π}{6}}）$，
∴|AB|=|ρ₁-ρ₂|=|1-3|=2．
解法二：C₁的參數(shù)方程化為普通方程為x²+y²-2y=0，C₂的參數(shù)方程化為普通方程為x²+y²-6y=0，
又射線$θ=\frac{π}{6}$化為普通方程為$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x（{x≥0}）$，
聯(lián)立C₁與射線方程解得A點直角坐標為$（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}}）$，
聯(lián)立C₂與射線方程解得B點直角坐標為$（{\frac{{3\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}}）$．
∴$|{AB}|=\sqrt{{{（{\frac{{3\sqrt{3}}}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）}^2}+{{（{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}）}^2}}=2$．

點評 本題考查了軌跡方程、參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、曲線交點坐標、兩點之間距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．