Question

8．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點F₁與拋物線y²=-4x的焦點重合，橢圓E的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過點M （m，0）（m＞$\frac{3}{4}$）作斜率不為0的直線l，交橢圓E于A，B兩點，點P（$\frac{5}{4}$，0），且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$為定值．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求△OAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由拋物線方程求出拋物線的焦點坐標(biāo)，即橢圓左焦點坐標(biāo)，結(jié)合橢圓離心率可得長半軸長，再由b²=a²-c²求出短半軸，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為：x=ty+m，由$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$整理得（t²+2）y²+2tmy+m²-2=0由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$為定值，解得m，|AB|=$\sqrt{1+{t}^{2}}$|y₁-y₂|=$\frac{2\sqrt{2}（1+{t}^{2}）}{{t}^{2}+2}$，點O到直線AB的距離d=$\frac{1}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，△OAB面積s=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{{t}^{2}+1}}{{t}^{2}+2}$即可求得最值

解答 解：（Ⅰ）設(shè)F₁（-c，0），
∵拋物線y²=-4x的焦點坐標(biāo)為（-1，0），且橢圓E的左焦點F與拋物線y²=-4x的焦點重合，∴c=1，
又橢圓E的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得a=$\sqrt{2}$，于是有b²=a²-c²=1．
故橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為：x=ty+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$整理得（t²+2）y²+2tmy+m²-2=0
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2tm}{{t}^{2}+2}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{{m}^{2}-2}{{t}^{2}+2}$，
$\overrightarrow{PA}=（{x}_{1}-\frac{5}{4}，{y}_{1}），\overrightarrow{PB}=（{x}_{2}-\frac{5}{4}，{y}_{2}）$，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（{x}_{1}-\frac{5}{4}）（{x}_{2}-\frac{5}{4}）+{y}_{1}{y}_{2}$=${x}_{1}{x}_{2}-\frac{5}{4}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{25}{16}+{y}_{1}{y}_{2}$
=（t²+1）y₁y₂+（tm-$\frac{5}{4}$t）（y₁+y₂）+m²-$\frac{5}{2}m+\frac{25}{16}$=$\frac{（-{m}^{2}+\frac{5}{2}m）{t}^{2}+（{m}^{2}+2）}{{t}^{2}+2}+{m}^{2}-\frac{5}{2}m-\frac{7}{16}$．
要使$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$為定值，則$\frac{-{m}^{2}+\frac{5}{2}m}{1}=\frac{{m}^{2}+2}{2}$，解得m=1或m=$\frac{2}{3}$（舍）
當(dāng)m=1時，|AB|=$\sqrt{1+{t}^{2}}$|y₁-y₂|=$\frac{2\sqrt{2}（1+{t}^{2}）}{{t}^{2}+2}$，
點O到直線AB的距離d=$\frac{1}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，
△OAB面積s=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{{t}^{2}+1}}{{t}^{2}+2}$=$\sqrt{2}×\frac{1}{\sqrt{1+t}+\frac{1}{\sqrt{1+{t}^{2}}}}≤\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴當(dāng)t=0，△OAB面積的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，

點評 本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式及面積的最值，屬于中檔題．