Question

13．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x
（1）若x=-$\frac{1}{3}$是f（x）的極值點(diǎn)，求f（x）在[-1，a]上的最大值和最小值．
（2）若f（x）在區(qū)間上[1，+∞）是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f′（-$\frac{1}{3}$）=3×$\frac{1}{9}$+2a×$\frac{1}{3}$-3=0，得a=4，f（x）=x³-4x²-12，f′（x）=3x²-8x-3=（x-3）（3x+1）=0，解得x=-$\frac{1}{3}$，3，討論定義域內(nèi)各區(qū)間導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而確定最值．
（2）f（x）在區(qū)間上[1，+∞）是增函數(shù)，則f′（x）=3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）恒成立，即a$≤\frac{3}{2}（x-\frac{1}{x}）$在[1，+∞）恒成立，a$≤[\frac{3}{2}（x-\frac{1}{x}）]_{min}$即可

解答 解：（1）f′（x）=3x²-2ax-3，x=-$\frac{1}{3}$是f（x）的極值點(diǎn)，則f′（-$\frac{1}{3}$）=3×$\frac{1}{9}$+2a×$\frac{1}{3}$-3=0，
解得a=4，f（x）=x³-4x²-12，f′（x）=3x²-8x-3=（x-3）（3x+1）=0，解得x=-$\frac{1}{3}$，3，
x，f（x），f′（x）變化如下表：

x	-1	（-1-$\frac{1}{3}$）	-$\frac{1}{3}$	（-$\frac{1}{3}，3$）	3	（3，4）	4
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-2	增函數(shù)	$\frac{14}{27}$	減函數(shù)	-18	增函數(shù)	-12

所以f（x）_max=f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{14}{27}$，f（x）_min=f（3）=18
（2）函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x求導(dǎo)得f′（x）=3x²-2ax-3，
f（x）在區(qū)間上[1，+∞）是增函數(shù)，則f′（x）=3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）恒成立，
即a$≤\frac{3}{2}（x-\frac{1}{x}）$在[1，+∞）恒成立，a$≤[\frac{3}{2}（x-\frac{1}{x}）]_{min}$，y=x-$\frac{1}{x}$在[1，+∞）為增函數(shù)，則（x-$\frac{1}{x}$）_min=0
∴a≤0，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求極值、單調(diào)性、最值，屬于中檔題．