Question

8．已知函數(shù)f（x）=e^x-x²-1，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）當(dāng)x∈R時(shí)，求證：f（x）≥-x²+x．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（0），f′（0），求出切線方程即可；
（2）令φ（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-2x，
∴k=f′（0）=1，又f（0）=0，
切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），故所求切線方程為：y=x；
（2）證明：令φ（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，
φ'（x）=e^x-1，由φ'（x）=0，得x=0，
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，φ'（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，φ'（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增．
∴φ（x）_min=φ（0）=0，從而f（x）≥-x²+x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．