Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，且tanC+3tanB=0．
（1）求∠A的最大值；
（2）若b²+2a=c²，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由已知化簡(jiǎn)可得tanA=

-2tanC

tan2C+3

≤

3

3

，所以有A≤

π

6

，即A的最大值為

π

6

；
（2）由（1）可求得a+2bcosC=0，又由余弦定理可得2a²+b²-c²=0，結(jié)合已知即可求出a的值．

解答： 解：（1）tanC+3tanB=0
⇒sinBcosC+cosBsinC+2sinBcosC=0
⇒sin（B+C）+2sinBcosC=0
⇒sinA+2sinBcosC=0
⇒sinA+2（sinAcosC+cosAsinC）cosC=0
化簡(jiǎn)整理可得：tanA=

-2sinCcosC

1+2cos2C

=

-2sinCcosC

sin2C+3cos2C

=

-2tanC

tan2C+3

；
因?yàn)閠anC＜0，所以：tanA=

-2

-(-tanC+ 3 -tanC )

≤

3

3

，所以：A≤

π

6

，即A的最大值為

π

6

．
（2）b²+2a=c²…①
而又有（1）得sinA+2sinBcosC=0，
故由正弦定理可知a+2bcosC=0，又cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
所以得2a²+b²-c²=0…②
由①②聯(lián)立可解得：a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用，所以中檔題．