Question

3．直角梯形ABEF中，BE∥AF，∠FAB=90°，AF=$\frac{3}{2}$BE=3AB=3，C，D分別是邊BE，AF上的點（不是端點），且CD⊥AF，如圖1所示；現(xiàn)沿CD把直角梯形ABEF折成一個120°的二面角，連接部分線段后圍成一個空間幾何體，如圖2所示．
（1）求證：BE∥平面ADF；
（2）當四棱錐F-ABCD體積最大時，求平面ADF與平面BEF所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面平行的性質證明平面BCE∥平面ADF即可證明BE∥平面ADF；
（2）設AD=a，求出當四棱錐F-ABCD體積最大時，AD的值，建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角的余弦值．

解答 （1）證明：在圖2中，BC∥AD，CE∥DF，BC，CF?平面BCE，AD，DF?平面ADF，
且BC∩CE=C，
由面面平行判斷定理的推論得：平面BCE∥平面ADF，
又BE?平面BCE，
∴BE∥平面ADF．
（2）過D作Dz⊥平面ABCD，由條件，
以D為原點，DA，DC，DZ分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標系．
設AD=a，（0＜a＜2），則DF=3-a，
V_F-ABCD=$\frac{1}{3}$a（30-a）sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a（3-a）≤$\frac{\sqrt{3}}{6}$（$\frac{a+3-a}{2}$）²=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
當且僅當a=3-a，即a=$\frac{3}{2}$時，四棱錐F-ABCD體積最大．
此時B（$\frac{3}{2}$，1，0），F(xiàn)（-$\frac{3}{4}$，0，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），E（-$\frac{1}{4}$，1，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），$\overrightarrow{BF}$=（-$\frac{9}{4}$，-1，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{7}{4}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
設平面BEF的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則：
$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BF}$=-$\frac{9}{4}$x-y+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$z=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BE}$=-$\frac{7}{4}$x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$z=0，取x=$\sqrt{3}$，
則y=3$\sqrt{3}$，z=7，所以$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$，7），
平面ADF的法向量為$\overrightarrow{AB}$=（0，1，0），
所以平面ADF與平面BEF所成的銳二面角的余弦值為：
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AB}$＞|=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{79}}$=$\frac{3\sqrt{227}}{79}$．

點評 本題主要考查線面平行的判定以及二面角的求解，建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法是解決二面角常用的方法，綜合性較強，運算量較大．