Question

11．已知函數(shù)f（x）=2asin²x-2$\sqrt{3}$asinxcosx+a+b的定義域?yàn)閇$\frac{π}{2}$，π]，值域是[2，5]，求a，b的值．

Answer 1

分析 利用二倍角公式及變形，兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)解析式，由x的范圍求出$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{7π}{6}，\frac{13π}{6}]$，對(duì)a進(jìn)行分類討論后，由題意和正弦函數(shù)的性質(zhì)列出方程組，求出a、b的值，

解答 解：由題意得，f（x）=2asin²x-（2$\sqrt{3}$）asinx•cosx+a+b
=a（1-cos2x-$\sqrt{3}$sin2x）+a+b=$-2asin（2x+\frac{π}{6}）+2a+b$，
由$x∈[\frac{π}{2}，π]$得，$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{7π}{6}，\frac{13π}{6}]$，
∴$sin（2x+\frac{π}{6}）∈[-1，\frac{1}{2}]$，
又值域?yàn)閇2，5]，
∴當(dāng)a＞0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{-2a×\frac{1}{2}+2a+b=2}\\{-2a×（-1）+2a+b=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
當(dāng)a＜0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{-2a×\frac{1}{2}+2a+b=5}\\{-2a×（-1）+2a+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
綜上可得，a，b的值是1、1；-1、6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦的圖象與性質(zhì)，三角恒等變換中的公式，考查整體思想，方程思想，化簡(jiǎn)、變形能力．