Question

已知復數z₁滿足：（1+2i）

.

z1

=4+3i，z_n+1-z_n=2+2i（n∈N+）．
（1）求復數z₁
（2）求滿足|z_n|≤13的最大正整數n．

Answer 1

分析：（1）設出復數，從而得到復數的共軛復數，把共軛復數代入所給的等式，得到關于a和b的等式，根據兩個復數相等的充要條件，寫出關于變量的方程組，得到結果．
（2）根據z_n+1-z_n=2+2i，仿寫一系列這樣的式子，一直到n=1，把所有的式子相加，利用疊加的方法，把出現的互為相反數的合并，這里的做法同求數列的通項一致，表示出模長，解不等式得到結果．

解答：解：（1）設z₁=a+bi（a，b∈R），則

z1

=a-bi
（1+2i）（a-bi）=4+3i
a+2b+（2a-b）i=4+3i

a+2b=4 2a-b=3

解得：

a=2 b=1

∴z₁=2+i
（2）由z_n+1-z_n=2+2i（n∈N^*）得：
z₂-z₁=2+2i
z₃-z₂=2+2i
z₄-z₃=2+2i
…
z_n-z_n-1=2+2i（n∈z，n≥2）
累加得z_n-z₁=2（n-1）+（n-1）i（n∈N^*）
z_n=2n+（2n-1）i（n∈N^*）
|z_n|=

4n2+(2n-1)2

=

8n2-4n+1

令|z_n|≤13，即8n²-4n+1≤169
2n²-n-42≤0
∴

1- 1+8×42

4

≤n≤

1+ 1+8×42

4

＜5
∴n的最大整數取值是4．

點評：本題考查復數的代數形式的運算，考查復數的模長，是一個綜合題，解題的關鍵是寫出要用模長的復數，這里采用疊加的方法，這是一個數列求通項常用的方法，更進一步理解知識是緊密聯系的．