Question

3．如圖所示的七面體是由三棱臺ABC-A₁B₁C₁和四棱錐D-AA₁C₁C對接而成，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，BB₁⊥平面⊥ABCD，BB₁=2A₁B₁=2．
（1）求證：平面AA₁C₁C⊥平面BB₁D；
（2）求二面角A一A₁D一C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立合理的空間直角坐標(biāo)系，然后要證明面面垂直，先證明兩個平面的法向量是不是垂直即可．
（2）對于二面角的求解，結(jié)合圖形的特點，表示出點的坐標(biāo)，進而得到向量的坐標(biāo)，求解平面的法向量，然后借助于向量的夾角公式得到二面角的平面角的大�。�

解答 證明：（1）因為BB₁⊥平面ABCD且ABCD是邊長為2的正方形，
所以以B為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz，
則有A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，2，0），D（2，2，0），A₁（1，0，2），B₁（0，0，2），C₁（0，1，2）．
∵$\overrightarrow{B{B}_{1}}$•$\overrightarrow{AC}$=（0，0，2）•（-2，2，0）=0，
$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AC}$=（2，2，0）•（-2，2，0）=0，
∴$\overrightarrow{B{B}_{1}}$⊥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$⊥$\overrightarrow{AC}$，
∴BB₁⊥AC，BD⊥AC，
∵BB₁與DB是平面BB₁D內(nèi)的兩條相交直線．
∴AC⊥平面BB₁D，
又AC?平面AA₁C₁C，
∴平面AA₁C₁C⊥平面BB₁D．
解：（2）$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（1，2，-2）．
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁）為平面A₁AD的一個法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{1}+2{z}_{1}=0}\\{2{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，
∴取$\overrightarrow{n}$=（2，0，1），
同理平面A₁DC₁的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₂，y₂，z₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{2}+{y}_{2}=0}\\{{x}_{2}+2{y}_{2}-2{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{m}$=（2，2，3），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{7}{\sqrt{5}×\sqrt{17}}$=$\frac{7\sqrt{85}}{85}$
 由圖知二面角A-A₁D-C₁為鈍角，所以其余弦值為-$\frac{7\sqrt{85}}{85}$．

點評 本試題主要是考查了空間幾何體中面面垂直的關(guān)系的證明和二面角的求解的綜合運用，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．