Question

13．如圖，已知長方形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，M為CD的中點(diǎn)，將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求證：AD⊥BM；
（2）在線段DB上是否存在點(diǎn)E，使得二面角E-AM-D的平面角為$\frac{π}{4}$？若存在，求出點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理逆定理證明AM⊥BM，從而得出BM⊥平面ADM，于是AD⊥BM；
（2）建立空間坐標(biāo)系，設(shè)$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DB}$，求出平面AME的法向量和平面ADM的法向量，令兩法向量的夾角余弦值的絕對值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解出λ即可判斷λ的位置．

解答 （1）證明：在矩形ABCD中，∵AD=$\sqrt{2}$，AB=2$\sqrt{2}$，M是CD的中點(diǎn)，
∴AM=BM=2，∴AM²+BM²=AB²，
∴AM⊥BM，又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM，
∴BM⊥平面ADM，又AD?平面ADM，
∴AD⊥BM．
（2）解：取AM的中點(diǎn)O，AB的中點(diǎn)N，連結(jié)OD，ON，
則OD⊥平面ABCM，OA⊥ON，
以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A，ON，OD為軸建立空間坐標(biāo)系，如圖所示：
則A（1，0，0），B（-1，2，0），D（0，0，1），M（-1，0，0），
則$\overrightarrow{AM}$=（-2，0，0），$\overrightarrow{AD}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{DB}$=（-1，2，-1），
設(shè)$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DB}$=（-λ，2λ，-λ），則$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}$=（-λ-1，2λ，1-λ），
設(shè)平面AME的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2x=0}\\{（-λ-1）x+2λy+（1-λ）z=0}\end{array}\right.$，令y=1得$\overrightarrow{m}$=（0，1，$\frac{2λ}{λ-1}$），
又ON⊥平面ADM，∴$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）是平面ADM的一個法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{1+\frac{4{λ}^{2}}{{λ}^{2}-2λ+1}}}$，
令$\frac{1}{1×\sqrt{1+\frac{4{λ}^{2}}{{λ}^{2}-2λ+1}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得λ=$\frac{1}{3}$或λ=-1（舍）．
∴當(dāng)E為DB的靠近D的三等分點(diǎn)時(shí)，二面角E-AM-D的平面角為$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，空間向量與二面角的計(jì)算，屬于中檔題．