Question

3．為了對某班學(xué)生的數(shù)學(xué)、物理成績進行分析，從該班25位男同學(xué)，15位女同學(xué)中隨機抽取一個容量為8的樣本．
（1）如果按性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（只要求寫出算式，不必計算出結(jié)果）；
（2）若這8人的數(shù)學(xué)成績從小到大排序是65，68，72，79，81，88，92，95．物理成績從小到大排序是72，77，80，84，86，90，93，98．
①求這8人中恰有3人數(shù)學(xué)、物理成績均在85分以上的概率（結(jié)果用分數(shù)表示）；
②已知隨機抽取的8人的數(shù)學(xué)成績和物理成績?nèi)绫恚?br />

學(xué)生編號	1	2	3	4	5	6	7	8
數(shù)學(xué)成績	65	68	72	79	81	88	92	95
物理成績	72	77	80	84	86	90	93	98

若以數(shù)學(xué)成績?yōu)榻忉屪兞縳，物理成績?yōu)轭A(yù)報變量y，求y關(guān)于x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；并求數(shù)學(xué)成績對于物理成績的貢獻率R²（精確到0.01）．
參考公式：相關(guān)系數(shù)：r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$，R²=r²，
回歸方程：$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$，其$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$
參考數(shù)據(jù)：$\overline{x}$=80，$\overline{y}$=85，$\sum_{i=1}^{8}$（x_i-$\overline{x}$）²=868，$\sum_{i=1}^{8}$（y_i-$\overline{y}$）²═518，$\sum_{i=1}^{8}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=664，$\sqrt{868}$≈29.5，$\sqrt{518}$≈22.8．

Answer 1

分析 （1）按比例求出抽取的男女人數(shù)，根據(jù)組合數(shù)公式計算可能的組合方法；
（2）分步計算組合方法，再計算概率；
（2）根據(jù)所給公式和數(shù)據(jù)進行計算，得出回歸方程和相關(guān)系數(shù)．

解答 解：（1）從25位男同學(xué)，15位女同學(xué)中隨機抽取一個容量為8的樣本，
按性別比例分層抽樣，則男生抽取8×$\frac{25}{25+15}$=5（人），女生抽取8-5=3（人）；
可以得到不同的樣本數(shù)是${C}_{25}^{5}$•${C}_{15}^{3}$；
（2）①數(shù)學(xué)成績在85分以上的有3人，物理成績在85分以上的有4人，
第一步，從物理的4個優(yōu)秀分數(shù)中選3個與數(shù)學(xué)優(yōu)秀分數(shù)對應(yīng)，種數(shù)是A${\;}_{4}^{3}$，
第二步，將剩下的5個數(shù)學(xué)分數(shù)和物理分數(shù)任意對應(yīng)，種數(shù)是${A}_{5}^{5}$，根據(jù)乘法原理，滿足條件的搭配種數(shù)是${A}_{4}^{3}{•A}_{5}^{5}$．
這8位同學(xué)的物理分數(shù)和數(shù)學(xué)分數(shù)分別對應(yīng)的種數(shù)共有${A}_{8}^{8}$種．
故所求的概率P=$\frac{{A}_{4}^{3}{•A}_{5}^{5}}{{A}_{8}^{8}}$=$\frac{1}{14}$．
②設(shè)y與x的線性回歸方程是$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$，則$\stackrel{∧}$=$\frac{664}{868}$≈0.76，$\stackrel{∧}{a}$=85-0.76×80≈24.2，
所以y與x的線性回歸方程是$\stackrel{∧}{y}$=0.76x+24.2．
r=$\frac{664}{29.5×22.8}$≈0.987，R²=0.987²≈0.97．

點評 本題考查了分層抽樣，組合數(shù)公式的應(yīng)用，線性回歸方程，屬于中檔題．