Question

4．某水泥廠銷售工作人員根據(jù)以往該廠的銷售情況，繪制了該廠日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示：將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立．
（1）求未來(lái)3天內(nèi)，連續(xù)2天日銷售量不低于8噸，另一天日銷售量低于8噸的概率；
（2）用X表示未來(lái)3天內(nèi)日銷售量不低于8噸的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖求出日銷售量不低于8噸的頻率為0.4，記未來(lái)3天內(nèi)，第i天日銷售量不低于8噸為事件A₁（i=1，2，3），未來(lái)3天內(nèi)，連續(xù)2天日銷售不低于8噸，另一天日銷量低于8噸包含兩個(gè)互斥事件${A_1}{A_2}\overline{A_3}$和$\overline{A_1}{A_2}{A_3}$，由此能求出未來(lái)3天內(nèi)，連續(xù)2天日銷售量不低于8噸，另一天日銷售量低于8噸的概率．
（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，0.4），由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知，
日銷售量不低于8噸的頻率為：2×（0.125+0.075）=0.4，…（1分）
記未來(lái)3天內(nèi)，第i天日銷售量不低于8噸為事件A₁（i=1，2，3），
則P（A₁）=0.4，…（2分）
未來(lái)3天內(nèi)，連續(xù)2天日銷售不低于8噸，
另一天日銷量低于8噸包含兩個(gè)互斥事件${A_1}{A_2}\overline{A_3}$和$\overline{A_1}{A_2}{A_3}$，…（3分）
則未來(lái)3天內(nèi)，連續(xù)2天日銷售量不低于8噸，另一天日銷售量低于8噸的概率：
$P（{{A_1}{A_2}\overline{A_3}∪\overline{A_1}{A_2}{A_3}}）=P（{{A_1}{A_2}\overline{A_3}}）+P（{\overline{A_1}{A_2}{A_3}}）$…（4分）
=0.4×0.4×（1-0.4）+（1-0.4）×0.4×0.4=0.192．…（6分）
（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，0.4）
P（X=0）=（1-0.4）³=0.216，…（7分）
$P（{X=1}）={C_3}^10.4×{（{1-0.4}）^2}=0.432$，…（8分）
$P（{X=2}）={C_3}^2{0.4^2}×（{1-0.4}）=0.288$，…（9分）
P（X=3）=0.4³=0.064，…（10分）
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	0.216	0.432	0.288	0.064

…（11分）
E（X）=3×0.4=1.2．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．