Question

【題目】如圖，在三棱錐中，頂點(diǎn)在底面上的投影在棱上，，，，為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）已知點(diǎn)為的中點(diǎn)，在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）存在，

【解析】

（1）由題知：平面，所以平面平面，因?yàn)?/span>，所以平面，所以.又根據(jù)勾股定理得到，所以平面.

（2）首先以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，找到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再分別求出平面和平面的法向量，帶入公式計(jì)算即可.

（3）首先設(shè)，，根據(jù)平面，得到，即可求出，再計(jì)算即可.

（1）因?yàn)轫旤c(diǎn)在底面上的射影在棱上，

所以平面，

因?yàn)?/span>平面，

所以平面平面，

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)槠矫?/span>平面，

平面，所以平面，

又平面，所以，

由，，

得，所以，

因?yàn)?/span>且平面，

平面，平面，

所以平面.

（2）連接，

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，

所以，

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

，

，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，

則.取，得，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，

則，取，則.

設(shè)二面角的平面角為，

則，

所以二面角的余弦值為.

（3）設(shè)，，

因?yàn)?/span>平面，

所以，，

所以，，.