Question

3．設(shè)m是實(shí)數(shù)，f（x）=m-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（x∈R）
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求m的值；
（2）試用定義證明：對(duì)于任意m，f（x）在R上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的定義，可得f（-x）+f（x）=0，化簡(jiǎn)整理，解方程可得m的值（也可通過f（0）=0）；
（2）運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，分取值、作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論等；
（3）由于f（x）為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，由題意可得k•3^x＜-3^x+9^x+2即k＜-1+3^x+$\frac{2}{{3}^{x}}$，運(yùn)用基本不等式求得右邊函數(shù)的最小值，即可得到所求k的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=m-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$為奇函數(shù)，
可得f（-x）=m-$\frac{2}{{2}^{-x}+1}$=m-$\frac{2•{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$，且f（-x）+f（x）=0，
∴2m-$\frac{2（1+{2}^{x}）}{1+{2}^{x}}$=2m-2=0（注：通過f（0）=0求可以，但要驗(yàn)證）
∴m=1；
（2）證明：設(shè)x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（m-$\frac{2}{1+{2}^{{x}_{1}}}$）-（m-$\frac{2}{1+{2}^{{x}_{2}}}$）=$\frac{2}{1+{2}^{{x}_{2}}}$-$\frac{2}{1+{2}^{{x}_{1}}}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$
∵x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
∴0＜2${\;}^{{x}_{1}}$＜2${\;}^{{x}_{2}}$，即2${\;}^{{x}_{1}}$-2${\;}^{{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）． 
則f（x）在R上為增函數(shù)．
（3）由于f（x）為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，
由f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0得：f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2），
∴k•3^x＜-3^x+9^x+2即k＜-1+3^x+$\frac{2}{{3}^{x}}$，
由3^x＞0，可得y=-1+3^x+$\frac{2}{{3}^{x}}$≥-1+2$\sqrt{{3}^{x}•\frac{2}{{3}^{x}}}$=2$\sqrt{2}$-1，
當(dāng)且僅當(dāng)3^x=$\frac{2}{{3}^{x}}$，即x=log₃$\sqrt{2}$時(shí)，取得最小值2$\sqrt{2}$-1，
則k＜2$\sqrt{2}$-1．
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，2$\sqrt{2}$-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，注意運(yùn)用定義法，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和基本不等式求最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．