Question

14．某企業(yè)一天中不同時(shí)刻的用電量y（萬(wàn)千瓦時(shí)）關(guān)于時(shí)間t（小時(shí)，0≤t≤24）的函數(shù)y=f（t）近似滿足f（t）=Asin（ωt+φ）+B，（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）．如圖是函數(shù)y=f（t）的部分圖象（t=0對(duì)應(yīng)凌晨0點(diǎn)）．
（Ⅰ）根據(jù)圖象，求A，ω，φ，B的值；
（Ⅱ）由于當(dāng)?shù)囟�季霧霾嚴(yán)重，從環(huán)保的角度，既要控制火力發(fā)電廠的排放量，電力供應(yīng)有限；又要控制企業(yè)的排放量，于是需要對(duì)各企業(yè)實(shí)行分時(shí)拉閘限電措施．已知該企業(yè)某日前半日能分配到的供電量g（t）（萬(wàn)千瓦時(shí)）與時(shí)間t（小時(shí)）的關(guān)系可用線性函數(shù)模型g（t）=-2t+25（0≤t≤12）模擬．當(dāng)供電量小于該企業(yè)的用電量時(shí)，企業(yè)就必須停產(chǎn)．初步預(yù)計(jì)停產(chǎn)時(shí)間在中午11點(diǎn)到12點(diǎn)間，為保證該企業(yè)既可提前準(zhǔn)備應(yīng)對(duì)停產(chǎn)，又可盡量減少停產(chǎn)時(shí)間，請(qǐng)從這個(gè)初步預(yù)計(jì)的時(shí)間段開(kāi)始，用二分法幫其估算出精確到15分鐘的停產(chǎn)時(shí)間段．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)圖象最值求A，B，根據(jù)周期求出ω，利用特殊點(diǎn)求出φ的值；
（Ⅱ）h（t）=f（t）-g（t），設(shè)h（t₀）=0，則t₀為該企業(yè)的停產(chǎn)時(shí)間．易知h（t）在（11，12）上是單調(diào)遞增函數(shù)，確定t₀∈（11.25，11.5）．即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由圖知$T=12=\frac{2π}{ω}$，∴$ω=\frac{π}{6}$．    （1分）
$A=\frac{{{y_{max}}-{y_{min}}}}{2}=\frac{2.5-1.5}{2}=\frac{1}{2}$，$B=\frac{{{y_{max}}+{y_{min}}}}{2}=\frac{2.5+1.5}{2}=2$．（3分）
∴$y=\frac{1}{2}sin（\frac{π}{6}x+φ）+2$．代入（0，2.5），得$φ=\frac{π}{2}+2kπ$，
又0＜φ＜π，∴$φ=\frac{π}{2}$． （5分）
綜上，$A=\frac{1}{2}$，$ω=\frac{π}{6}$，$φ=\frac{π}{2}$，B=2．  即$f（t）=\frac{1}{2}sin（\frac{π}{6}t+\frac{π}{2}）+2$． （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（t）=\frac{1}{2}sin（\frac{π}{6}t+\frac{π}{2}）+2=\frac{1}{2}cos\frac{π}{6}t+2$．
令h（t）=f（t）-g（t），
設(shè)h（t₀）=0，則t₀為該企業(yè)的停產(chǎn)時(shí)間．易知h（t）在（11，12）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
由h（11）=f（11）-g（11）＜0，h（12）=f（12）-g（12）＞0，
又$h（11.5）=f（11.5）-g（11.5）=\frac{1}{2}cos\frac{23π}{12}+2-2=\frac{1}{2}cos（-\frac{π}{12}）＞0$，則t₀∈（11，11.5）．
即11點(diǎn)到11點(diǎn)30分之間（大于15分鐘）
又$h（11.25）=f（11.25）-g（11.25）=\frac{1}{2}cos\frac{45π}{24}+2-2.5＜\frac{1}{2}×1-0.5=\frac{1}{2}-0.5=0$，
則t₀∈（11.25，11.5）．即11點(diǎn)15分到11點(diǎn)30分之間（正好15分鐘）．（11分）
答：估計(jì)在11點(diǎn)15分到11點(diǎn)30分之間的時(shí)間段停產(chǎn)．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，考查三角函數(shù)解析式的確定，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．