Question

4．已知圓C經(jīng)過A（1，3），B（-1，1）兩點，且圓心在直線y=2x-1上．
（1）求圓C的標準方程；
（2）設直線l經(jīng)過點（2，2），且l與圓C相交所得弦長為$2\sqrt{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設圓C的圓心坐標為（a，2a-1），利用CA=CB，建立方程，求出a，即可求圓C的方程；
（2）分類討論，利用圓心到直線的距離公式，求出斜率，即可得出直線方程．

解答 解：（1）設圓C的圓心坐標為（a，2a-1），
依題意，有（a-1）²+（2a-4）²=（a+1）²+（2a-2）²，
解得a=1，（2分）
所以r²=（1-1）²+（2-4）²=4，（4分）
所以圓C的方程為（x-1）²+（y-1）²=4．（5分）
（2）依題意，圓C的圓心到直線l的距離為1，
所以直線x=2符合題意．（6分）
設直線l方程為y+2=k（x-2），即kx-y-2k-2=0，
則$\frac{|k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=-$\frac{4}{3}$，
所以直線l的方程為y+2=-$\frac{4}{3}$（x-2），即4x+3y-2=0．（9分）
綜上，直線l的方程為x-2=0或4x+3y-2=0．（10分）

點評 本題考查圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，正確運用點到直線的距離公式是關鍵．