Question

14．某公司準(zhǔn)備將1000萬元資金投入到市環(huán)保工程建設(shè)中，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)建設(shè)項(xiàng)目供選擇，若投資甲項(xiàng)目一年后可獲得的利潤(rùn)為ξ₁（萬元）的概率分布列如表所示：

ξ1	110	120	170
P	m	0.4	n

且ξ₁的期望E（ξ₁）=120；若投資乙項(xiàng)目一年后可獲得的利潤(rùn)ξ₂（萬元）與該項(xiàng)目建設(shè)材料的成本有關(guān)，在生產(chǎn)的過程中，公司將根據(jù)成本情況決定是否受第二和第三季度進(jìn)行產(chǎn)品的價(jià)格調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨(dú)立，且調(diào)整的概率分別為p（0＜p＜1）和1-p，乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)X（次）與ξ₂的關(guān)系如表所示：

X（次）	0	1	2
ξ2	41.2	117.6	204.0

（1）求m，n的值；
（2）求ξ₂的分布列；
（3）根據(jù)投資回報(bào)率的大小請(qǐng)你為公司決策：當(dāng)p在什么范圍時(shí)選擇投資乙項(xiàng)目，并預(yù)測(cè)投資乙項(xiàng)目的最大投資回報(bào)率是多少？（投資回報(bào)率=年均利潤(rùn)/投資總額×100%）

Answer 1

分析 （1）利用概率和為1，期望值列出方程組求解即可．
（2）ξ₂的可能取值為41.2，117.6，204.0，求出概率，得到ξ₂的分布列；
（3）利用期望關(guān)系，通關(guān)二次函數(shù)求解最值即可．

解答 解：（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}m+0.4+n=1\\ 110m+120×0.4+170n=120\end{array}\right.$，
得：m=0.5，n=0.1．
（2）ξ₂的可能取值為41.2，117.6，204.0，P（ξ₂=41.2）=（1-p）[1-（1-p）]=p（1-p）$P（{ξ_2}=117.6）=p[1-（1-p）]+（1-p）（1-p）={p^2}+{（1-p）^2}$
P（ξ₂=204.0）=p（1-p）
所以ξ₂的分布列為

ξ2	41.2	117.6	204.0
P	p（1-p）	p2+（1-p）2	p（1-p）

（3）由（2）可得：$E（{ξ_2}）=41.2×p（1-p）+117.6×[{p^2}+{（1-p）^2}]+204.0×p（1-p）$=-10p²+10p+117.6
根據(jù)投資回報(bào)率的計(jì)算辦法，如果選擇投資乙項(xiàng)目，只需E（ξ₁）＜E（ξ₂），
即120＜-10p²+10p+117.6，得0.4＜p＜0.6．
因?yàn)?E（{ξ_2}）=-10{p^2}+10p+117.6$，
所以當(dāng)$P=\frac{1}{2}$時(shí)，E（ξ₂）取到最大值為120.1，
所以預(yù)測(cè)投資回報(bào)率的最大值為12.01%．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查概率的求法，是中檔題．