Question

18．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個(gè)區(qū)域（不含邊界），若點(diǎn)（2，1）在“右”區(qū)域內(nèi)，則雙曲線離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． $（{1，\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）$
• B． $（{\frac{{\sqrt{5}}}{2}，+∞}）$
• C． $（{1，\frac{5}{4}}）$
• D． $（{\frac{5}{4}，+∞}）$

Answer 1

分析 由于雙曲線的一條漸近線方程為：y=$\frac{a}$x，及點(diǎn)（2，1）在“右”區(qū)域內(nèi)，得出 $\frac{a}$＞$\frac{1}{2}$，從而得出雙曲線離心率e的取值范圍．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一條漸近線方程為：y=$\frac{a}$x，
∵點(diǎn)（2，1）在“右”區(qū)域內(nèi)，
∴$\frac{a}$×2＞1，即$\frac{a}$$＞\frac{1}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$＞$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
又e＞1，
則雙曲線離心率e的取值范圍是（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)、不等式（組）與平面區(qū)域、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．